Краткий курс по статистике
Шрифт:
Если некоторые варианты встречаются несколько раз, то сумму уровней признака можно получить умножением каждого уровня на соответствующее число единиц совокупности с последующим сложением полученных произведений; исчисленная таким образом величина – средняя арифметическая взвешенная.
8. Основные виды средних величин
1. Для определения средней арифметической необходим ряд вариантов и частот, т. е. значения х и f
Средняя гармоническая взвешенная тождественна средней арифметической: когда произведения fx одинаковы или равны единице (m = 1), то применяется средняя гармоническая простая:
где х1 –
Если имеется n коэффициентов роста, то формула среднего коэффициента:
Средняя геометрическая равна корню степени n из произведения коэффициентов роста, характеризующих отношение величины каждого последующего периода к величине предыдущего. Средняя квадратическая простая определяется путем извлечения квадратного корня из частного от деления суммы квадратов отдельных значений признака на их число:
Средняя квадратическая взвешенная:
2. Выделяют следующие основные виды средних величин:
по наличию признака-веса: невзвешенная и взвешенная;
охвату совокупности: групповая, общая;
форме расчета: средняя арифметическая, гармоническая, геометрическая, квадратическая, кубическая и т. д. величины.
Данные средние выводятся из формулы степенной средней:
где xi – величины, для которых исчисляется средняя;
n – частота (повторяемость индивидуальных значений признака).
При при k = – средняя гармоническая; при k = 0 – средняя геометрическая; при k = 2 – средняя квадратическая.
При k = 1 формула расчета степенной средней превращается в формулу расчета средней арифметической:
3. Выделяют следующие основные виды средней арифметической величины: средняя арифметическая невзвешенная, средняя арифметическая взвешенная.
Средняя арифметическая невзвешенная величина наиболее распространена; рассчитывается путем деления значений признака каждого элемента совокупности на число элементов совокупности:
Средняя арифметическая взвешенная величина рассчитывается, если имеются сведения о количестве или доле единиц совокупности каждым значением осредняемого признака:
Выделяют следующие основные свойства средней арифметической величины:
сумма всех отклонений каждого значения признака от среднего арифметического значения равна нулю:
Если отклонения каждого из вариантов от средней величины суммировать, то получится ноль, что свойственно арифметическим невзвешенным и взвешенным средним значениям;
произведение каждого значения признака на соответствующую ему частоту равно произведению средней величины на сумму частот:
Средняя величина есть результат распределения объема совокупности поровну между всеми ее элементами;
сумма квадратов отклонения индивидуальных значений признака от средней арифметической меньше суммы квадратов отклонения от любой другой величины:
если увеличить или уменьшить все варианты осредняемого признака на какое-либо одно и то же число, то объем средней соответственно увеличится или уменьшится на это же число;
если увеличить или уменьшить все варианты осредняемого признака в какое-либо число раз, то объем средней соответственно увеличится или уменьшится в это же количество раз;
от увеличения или уменьшения веса каждого варианта признака в какое-либо число раз величина средней не изменится. Применение данного свойства удобно, если необходимо проанализировать совокупность со значительным количеством элементов, а частота элементов выражена многозначными числами. Если частоты элементов равны между собой, то среднюю можно рассчитать как невзвешенную;
вследствие предыдущего свойства величина средней зависит не от абсолютных значений весов отдельных элементов, а от их доли в общей сумме весов, т. е. если не известны абсолютные выражения весов элементов, а известны пропорции между ними, то они могут использоваться для расчета средней;
средняя арифметическая совокупности, состоящей из постоянных величин, равна этой постоянной:
4. Приведем также формулы расчета средней гармонической, средней геометрической, средней квадратической и средней степенной величин.
Формула расчета степенной средней:
где xi – величины, для которых исчисляется средняя;
n – частота (повторяемость индивидуальных значений признака).
При к = формула превращается в формулу расчета средней гармонической.
Средняя гармоническая простая (невзвешенная) величина взаимосвязана со средней арифметической невзвешенной как величина, обратная средней арифметической, рассчитанная из обратных значений признака: