Чтение онлайн

на главную

Жанры

Краткий курс по статистике
Шрифт:

Если некоторые варианты встречаются несколько раз, то сумму уровней признака можно получить умножением каждого уровня на соответствующее число единиц совокупности с последующим сложением полученных произведений; исчисленная таким образом величина – средняя арифметическая взвешенная.

8. Основные виды средних величин

1. Для определения средней арифметической необходим ряд вариантов и частот, т. е. значения х и f

Средняя гармоническая взвешенная тождественна средней арифметической: когда произведения fx одинаковы или равны единице (m = 1), то применяется средняя гармоническая простая:

где х1

отдельные варианты.

Если имеется n коэффициентов роста, то формула среднего коэффициента:

Средняя геометрическая равна корню степени n из произведения коэффициентов роста, характеризующих отношение величины каждого последующего периода к величине предыдущего. Средняя квадратическая простая определяется путем извлечения квадратного корня из частного от деления суммы квадратов отдельных значений признака на их число:

Средняя квадратическая взвешенная:

2. Выделяют следующие основные виды средних величин:

по наличию признака-веса: невзвешенная и взвешенная;

охвату совокупности: групповая, общая;

форме расчета: средняя арифметическая, гармоническая, геометрическая, квадратическая, кубическая и т. д. величины.

Данные средние выводятся из формулы степенной средней:

где xi величины, для которых исчисляется средняя;

– средняя, где черта сверху свидетельствует о том, что имеет место осреднение индивидуальных значений;

n – частота (повторяемость индивидуальных значений признака).

При при k = – средняя гармоническая; при k = 0 – средняя геометрическая; при k = 2 – средняя квадратическая.

При k = 1 формула расчета степенной средней превращается в формулу расчета средней арифметической:

3. Выделяют следующие основные виды средней арифметической величины: средняя арифметическая невзвешенная, средняя арифметическая взвешенная.

Средняя арифметическая невзвешенная величина наиболее распространена; рассчитывается путем деления значений признака каждого элемента совокупности на число элементов совокупности:

Средняя арифметическая взвешенная величина рассчитывается, если имеются сведения о количестве или доле единиц совокупности каждым значением осредняемого признака:

Выделяют следующие основные свойства средней арифметической величины:

сумма всех отклонений каждого значения признака от среднего арифметического значения равна нулю:

Если отклонения каждого из вариантов от средней величины суммировать, то получится ноль, что свойственно арифметическим невзвешенным и взвешенным средним значениям;

произведение каждого значения признака на соответствующую ему частоту равно произведению средней величины на сумму частот:

Средняя величина есть результат распределения объема совокупности поровну между всеми ее элементами;

сумма квадратов отклонения индивидуальных значений признака от средней арифметической меньше суммы квадратов отклонения от любой другой величины:

если увеличить или уменьшить все варианты осредняемого признака на какое-либо одно и то же число, то объем средней соответственно увеличится или уменьшится на это же число;

если увеличить или уменьшить все варианты осредняемого признака в какое-либо число раз, то объем средней соответственно увеличится или уменьшится в это же количество раз;

от увеличения или уменьшения веса каждого варианта признака в какое-либо число раз величина средней не изменится. Применение данного свойства удобно, если необходимо проанализировать совокупность со значительным количеством элементов, а частота элементов выражена многозначными числами. Если частоты элементов равны между собой, то среднюю можно рассчитать как невзвешенную;

вследствие предыдущего свойства величина средней зависит не от абсолютных значений весов отдельных элементов, а от их доли в общей сумме весов, т. е. если не известны абсолютные выражения весов элементов, а известны пропорции между ними, то они могут использоваться для расчета средней;

средняя арифметическая совокупности, состоящей из постоянных величин, равна этой постоянной:

4. Приведем также формулы расчета средней гармонической, средней геометрической, средней квадратической и средней степенной величин.

Формула расчета степенной средней:

где xi – величины, для которых исчисляется средняя;

– средняя, где имеет место осреднение индивидуальных значений;

n – частота (повторяемость индивидуальных значений признака).

При к = формула превращается в формулу расчета средней гармонической.

Средняя гармоническая простая (невзвешенная) величина взаимосвязана со средней арифметической невзвешенной как величина, обратная средней арифметической, рассчитанная из обратных значений признака:

Поделиться:
Популярные книги

Кровь на эполетах

Дроздов Анатолий Федорович
3. Штуцер и тесак
Фантастика:
альтернативная история
7.60
рейтинг книги
Кровь на эполетах

Сердце Дракона. Том 20. Часть 1

Клеванский Кирилл Сергеевич
20. Сердце дракона
Фантастика:
фэнтези
боевая фантастика
городское фэнтези
5.00
рейтинг книги
Сердце Дракона. Том 20. Часть 1

Золушка вне правил

Шах Ольга
Любовные романы:
любовно-фантастические романы
6.83
рейтинг книги
Золушка вне правил

Мастер...

Чащин Валерий
1. Мастер
Фантастика:
героическая фантастика
попаданцы
аниме
6.50
рейтинг книги
Мастер...

Матабар

Клеванский Кирилл Сергеевич
1. Матабар
Фантастика:
фэнтези
5.00
рейтинг книги
Матабар

LIVE-RPG. Эволюция-1

Кронос Александр
1. Эволюция. Live-RPG
Фантастика:
социально-философская фантастика
героическая фантастика
киберпанк
7.06
рейтинг книги
LIVE-RPG. Эволюция-1

Бремя империи

Афанасьев Александр
Бремя империи - 1.
Фантастика:
альтернативная история
9.34
рейтинг книги
Бремя империи

Последняя жена Синей Бороды

Зика Натаэль
Любовные романы:
любовно-фантастические романы
5.00
рейтинг книги
Последняя жена Синей Бороды

Авиатор: назад в СССР 12

Дорин Михаил
12. Покоряя небо
Фантастика:
попаданцы
альтернативная история
5.00
рейтинг книги
Авиатор: назад в СССР 12

Зауряд-врач

Дроздов Анатолий Федорович
1. Зауряд-врач
Фантастика:
альтернативная история
8.64
рейтинг книги
Зауряд-врач

Кодекс Охотника. Книга XV

Винокуров Юрий
15. Кодекс Охотника
Фантастика:
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Кодекс Охотника. Книга XV

Магия чистых душ 3

Шах Ольга
Любовные романы:
любовно-фантастические романы
5.00
рейтинг книги
Магия чистых душ 3

Вторая невеста Драконьего Лорда. Дилогия

Огненная Любовь
Вторая невеста Драконьего Лорда
Любовные романы:
любовно-фантастические романы
5.60
рейтинг книги
Вторая невеста Драконьего Лорда. Дилогия

Жестокая свадьба

Тоцка Тала
Любовные романы:
современные любовные романы
4.87
рейтинг книги
Жестокая свадьба