Квантовая механика и интегралы по траекториям
Шрифт:
Допустим, что сигналы очень слабые, а их среднее число за единицу времени велико. В этом случае g(t) мало и, разлагая экспоненту exp[ik(t+s)g(t)dt] в степенной ряд, можно аппроксимировать характеристическую функцию выражением
exp
i
T
0
T
0
k(t+s)g(t)dt
ds
=
exp
iG
2T
0
k(t)dt
,
(12.20)
где
Перейдём теперь к приближению более высокого порядка и изучим флуктуации около этого постоянного потенциала.
Равенство (12.20) даёт первое приближение экспоненты exp[ik(t+s)g(t)dt] в выражении для характеристического функционала (12.19). Допустим теперь, что мы переходим к следующему приближению и учитываем члены второго порядка в виде
–
2
k(t)g(t-s)dt
k(t')g(t'-s)dt'
ds
.
(12.21)
Чтобы получить более простое выражение, введём функцию, определяющую степень перекрытия двух соседних сигналов,
=
g(t)
g(t+)
dt
.
(12.22)
Эта подстановка приводит член второго порядка к виду
–
2
T
0
T
0
k(t)
k(t')
(t-t')
dt
dt'
.
(12.23)
Характеристический функционал с учётом членов первого и второго порядков приобретает вид
= exp
iG
k(t)
dt
exp
–
2
k(t)
k(t')
(t-t')
dt
dt'
.
(12.24)
Первый множитель в этом выражении соответствует постоянному среднему уровню шума, который, если иметь в виду импульсы напряжения, можно назвать уровнем постоянного тока. Мы можем при желании пренебречь этим уровнем и интересоваться только изменениями потенциала, сдвинув начало отсчёта f(t). Это означает, что путём изменения начала отсчёта функции f(t) всегда можно освободиться от множителя exp[ik(t)F(t)dt] [т.е. записать f(t)=F(t)+f'(t), изучить распределение вероятности и характеристический функционал для f(t)]. Если мы сделаем такое изменение начала отсчёта, то будем изучать лишь флуктации напряжения относительно уровня постоянного тока.
Отметим одно приближение к функционалу (12.24), которое часто оказывается точным. В общем случае — узкая, пикообразная функция от . Нарастание и спад формы сигнала g(t) характеризуется конечной шириной, так что если два сигнала разделены достаточно большим промежутком времени, то у них нет области перекрытия. Другими словами, быстро стремится к нулю при увеличении . Поэтому, если имеет достаточно узкий профиль, второй член в уравнении (12.24) может быть аппроксимирован выражением
e
– (q/2)[k(t)]^2dt
,
(12.25)
где обозначено
q
=
–
d
.
Это эквивалентно распределению вероятности
P[f(t)]
=
e
– (q/2)[f(t)]^2dt
.
(12.26)
Флуктуации, подобные тем, что мы сейчас рассматриваем, часто называют гауссовым шумом.
Характеристики функционалов вероятности, описывающих шумовые функции, последнее время широко обсуждались в теории связи, причём многие характеристики шумового спектра были определены и вычислены. Аналогичное рассмотрение проведём здесь и в следующем параграфе, где рассматриваются гауссовы шумы.
Покажем ещё на одном примере, как выводятся характеристические функционалы. Рассмотрим сигналы, которые приходят в случайные моменты времени и для которых задана характеристическая форма, например, в виде u(t), но различен масштабный весовой множитель, так что типичный сигнал запишется как au(t). Можно также допустить, что вес a может быть либо положительным, либо отрицательным. Пусть сигналы приходят в какие-то моменты времени tj, а их веса принимают случайные положительные и отрицательные значения aj. Тогда результирующая функция представляется выражением
f(t)
=
j
a
j
u(t-t
j
)
.
(12.27)
Если отвлечься от случайной природы событий, то мы получим характеристический функционал, эквивалентный функционалу (12.16);
=
exp
i
j
a
j
k(t)
u(t-t
j
)
dt
.
(12.28)
Если учесть теперь случайную природу весовых масштабных множителей сигналов и обозначить вероятность обнаружения весового множителя, соответствующего j-му сигналу, в интервале daj через p(aj)daj, то характеристический функционал будет иметь вид
=
…
i
j
a
j
k(t)
u(t-t
j