Квантовая механика и интегралы по траекториям

Фейнман Ричард Филлипс

e

^{iS[q(t)]-iS[q'(t)]}

Dq(t)

Dq'(t)

.

(12.81)

*)Как и в гл. 11, предполагаем, что h=1, a S[q(t)] — действительная величина.

Суммирование таких интегралов по различным конечным точкам даст искомую вероятность.

Если потенциал V отличен от нуля, то мы должны S в выражении (12.81) заменить на S_V. При этом получим

exp

i

S[q(t)]

–

S[q'(t)]

+

q(t)

V(t)

dt

–

–

q'(t)

V(t)

dt

Dq(t)

Dq'(t)

.

(12.82)

Предположим

теперь, что потенциал известен только в вероятностном смысле, т.е. задана вероятность P_V[V(t)]DV(t) того, что потенциал равен V(t). Тогда для того, чтобы получить вероятность перехода между состояниями и нужно взять выражение (12.79), рассчитанное для данного V(t), и усреднить его по всем V(t) с весом P_V[V(t)]DV(t). Это даст

вероятность (->)

=

=

*(q

_f

)

(q'

_f

)

J(q

_f

,q'

_f

;q

_i

,q'

_i

)

(q

_i

)

*(q'

_i

)

dq

_i

dq'

_i

dq

_f

dq'

_f

.

(12.83)

где J — среднее от выражения (12.82) по всем V(t) с весом P_V[V(t)]DV(t); таким образом,

J

=

exp(i{

S[q(t)]

–

S[q'(t)]

})

x

x

exp

i

[q(t)-q'(t)]

V(t)

dt

P

_V

[V(t)]

Dq(t)

Dq'(t)

DV(t)

,

(12.84)

где интегралы берутся между заданными конечными точками q(t_i)=q_i, q'(t_i)=q'_i, q(t_f)=q_f, q'(t_f)=q'_f. Заметим, что выбор граничных точек и интегрирование по различным переменным с учётом распределения волновых функций, зависящего от вида задачи [как в выражении (12.83)], даёт только сумму J для разных граничных условий. Здесь и дальше мы будем рассуждать таким образом, будто уже само J даёт нам искомую вероятность, причём читателю не следует забывать, что эту работу ещё нужно выполнить. А теперь можно сконцентрироваться на главном — вычислении двойных интегралов по траекториям, необходимых для расчёта J.

Интеграл по V(t) в формуле (12.84) можно получить явно. Видно, что для нахождения вероятностей после усреднения надо вычислить двойной интеграл:

J

=

exp(i{

S[q(t)]

–

S[q'(t)]

})

[q(t)-q'(t)]

Dq(t)

Dq'(t)

,

(12.85)

где [k(t)] — производящий функционал, принадлежащий распределению вероятностей P_V, так что

[k(t)]

e

^ik(t)V(t)dt

P

_V

[V(t)]

DV(t)

.

(12.86)

Выражение (12.85) соответствует нашему стремлению выразить ответ в форме, справедливой и после усреднения. В него входит вычисление двойного интеграла по траекториям. Как его вычислить практически,— другой вопрос. В этих параграфах мы рассматриваем лишь возможную постановку различных задач; методы, обсуждаемые здесь, могут оказаться полезными в приложениях.

В качестве примера применения выражения (12.85) предположим, что V(t) — гауссов шум с нулевым средним значением и характеристической функцией A(t,t'), как в выражении (12.46). Нужно вычислить двойной интеграл:

J

=

exp(i{

S[q(t)]

–

S[q'(t)]

})

x

x

exp

–

1

2

[q(t)-q'(t)]

[q(t')-q'(t')]

A(t,t')

dt

dt'

x

Dq(t)

Dq'(t)

.

(12.87)

Так как во всяком случае либо новый множитель содержит q, либо q' входят в новый экспоненциальный множитель только квадратично, то могут быть полезны некоторые методы, обсуждавшиеся ранее для квадратичных форм. Конечно, если действие S(q) само квадратично, как в случае гармонического осциллятора, то интегралы по траекториям можно вычислить точно, используя методы § 5 гл. 3.

§ 8. Функционалы влияния

Рассмотрим теперь поведение квантовомеханической системы, обобщённую координату которой мы будем обозначать через q во взаимодействии с другой системой, характеризуемой обобщённой координатой Q ¹). Допустим, что все предполагаемые измерения должны проводиться в системе q и никакие прямые измерения не будут сделаны в системе Q. Например, мы интересуемся переходами в атоме, который находится в электромагнитном поле и может излучать. Тогда исследуем только состояние атома и не будем непосредственно измерять его излучение; в этом случае q — атомные координаты, a Q — координаты поля. Если же мы проводим исследование иначе, т.е. наблюдаем только излучение атома, испускаемое, поглощаемое или рассеиваемое, но не измеряем никаких величин, непосредственно описывающих атом, то можно опираться на наш предыдущий анализ, причём теперь Q — атомные координаты, a q — координаты электромагнитного поля. Если, например, нам хочется рассмотреть теорию коэффициента преломления, то q — снова переменные поля, а переменные Q описывают тело, через которое проходит свет. В качестве ещё одного примера предположим, что нужно исследовать поведение электрона в кристалле (или иона в жидкости), причём экспериментальные данные относятся только к положению заряда, но не к материалу кристалла. Например, можно было бы интересоваться током (или скоростью электронов), возникающим при определённых условиях, и не рассматривать его связи с числом индуцированных фононов. Тогда переменные q будут описывать электрон, а переменные Q — все другие параметры вещества в кристалле.

¹) Q обозначает любое число координат. Эта система может быть и, вообще говоря, является очень сложной. Мы будем оперировать с одной переменной Q, но это не ограничивает общности рассуждений.

Пусть S[q(t)] — действие для системы q, S₀[Q(t)] — действие для окружающей среды, a S_взаим[q(t),Q(t)] описывает взаимодействие между средой Q и системой q. Действие для всей системы равно сумме S[q(t)] + S₀[Q(t)] + S_взаим[q(t),Q(t)] а вероятность какого-либо события в такой сложной системе можно вычислить из двойного интеграла по траекториям, являющегося, очевидно, обобщением выражения (12.81), которое теперь запишется в виде

J

=

exp(i{

S[q(t)]

–

S[q'(t)]

+

S

_взаим

[q(t),Q(t)]

–

–

S

_взаим

[q'(t),Q'(t)]

+

S

₀

[Q(t)]

–

S

₀

[Q'(t)]

})

x

x

Dq(t)

DQ(t)

Dq'(t)

DQ'(t)

.

(12.88)

Однако если нам не нужно измерять Q(t), а достаточно исследовать лишь зависимость от q(t), то ответ запишется в форме