Квантовая механика и интегралы по траекториям
Шрифт:
S
a
[Q(t)]
=
S
0
[Q(t)]
+
S
i
[q(t),Q(t)]
причём
S
a
[Q'(t)]
=
S
0
[Q'(t)]
+
S
i
[q(t),Q'(t)]
что и требуется, пока q'(t)=q(t). Следовательно,
F[q(t),q(t)]
=1
.
Те
Правило III с очевидностью следует из того, что вероятности определяются суммированием всех возможных значений J
Правило IV вытекает из выражения (12.90), если в соответствии с условием действие в выражении (12.90) имеет вид
S
0A
[Q
A
(t)]
+
S
iA
[q(t),Q
A
(t)]
+
S
0B
[Q
B
(t)]
+
S
iB
[q(t),Q
B
(t)]
.
При этом экспоненциальная функция суммы превращается в произведение, дающее интегралы F, если начальное состояние само представляется произведением волновых функций.
Правило V — это просто формулировка наших результатов, приведённых в соотношениях (12.82) и (12.85).
Мы рассмотрели некоторые общие свойства функционалов влияния. Связанные с ними расчёты используют различные методы вычисления интегралов по траекториям (12.89). Закончим этот параграф рассмотрением некоторых важных функционалов влияния.
Подобно тому, насколько простыми и важными оказываются гауссово распределение вероятности и гауссово распределение шума, настолько важны и функционалы влияния, содержащие координаты q(t), q'(t) в виде квадратичных форм в экспонентах; назовём их гауссовыми функционалами влияния.
Во-первых, если среда представляет собой систему гармонических осцилляторов в основном состоянии (или при заданной температуре), линейно связанных с рассматриваемой системой q, то вычисление выражения (12.90) показывает, что F — гауссов функционал. Однако гауссовы функционалы влияния (подобно гауссовым вероятностям), дают хорошее приближение для гораздо более широкого класса задач, в которых эффект является суммарным результатом большого числа малых воздействий. Рассмотрим, например, атом, слабо взаимодействующий с большим числом атомов окружающего газа. Влияние каждого атома A очень мало, так что его функционал влияния FA немногим отличается от единицы. Однако, согласно правилу IV, полный функционал F является произведением многих таких множителей и его можно аппроксимировать экспоненциальной функцией суммы всех малых вкладов. Разложение этого вклада с точностью до величины первого и второго порядков малости относительно взаимодействия с отдельным атомом приводит
Как иллюстрацию этого заключения, рассмотрим влияние металлического образца, находящегося в объёмном резонаторе. Это влияние можно просто, в линейной форме, выразить одной функцией импеданса, несмотря на всю сложность поведения электронов в металле. Функционал влияния металла Q на объёмный резонатор q близок к гауссову, и в этом смысле металл эквивалентен некоторой системе гармонических осцилляторов, которая приводила бы к тому же самому функционалу влияния.
Наиболее общий экспоненциальный функционал с линейной зависимостью от координат q(t) и q'(t) имеет вид
F[q(t),q'(t)]
=
exp
i
q(t)
V(t)
dt
–
i
q'(t)
U(t)
dt
,
(12.98)
где V(t) и U(t) — произвольные комплексные функции. Однако, чтобы оказаться функционалом влияния, он должен удовлетворять пяти перечисленным правилам. Правило I требует, чтобы U(t)=V*(t), а из правила II следует U(t)=V(t), поэтому U и V должны быть равными и действительными величинами. Таким образом, согласно правилу V, самый общий линейный функционал эквивалентен действию классического внешнего потенциала.
Нет необходимости обсуждать этот простой случай далее; он анализируется до конца, если добавить член q(t)V(t) к гамильтониану невозмущённой системы. Если в показателе экспоненты содержатся и квадратичный и линейный члены, то последний можно выделить в отдельный множитель, так что правило IV позволяет нам утверждать: в данном случае действует классический потенциал плюс эффект чисто квадратичного функционала.
Самый общий экспоненциальный функционал, квадратичный относительно своих аргументов, имеет вид
F[q(t),q'(t)]
=
exp
–
t
[
(t,t')
q(t)
q(t')
+
(t,t')
q'(t)
q'(t')
+
+
(t,t')
q(t)
q'(t')
+
(t,t')
q'(t)
q(t')
]
dt
dt'
(12.99)
с произвольными комплексными функциями , , и . (Эти функции достаточно определить только для t>t'.) Интегралы берутся здесь по всему интересующему нас интервалу времени, однако мы всегда выбираем t>t'; это не ограничивает общности и удобно для дальнейшего анализа. Чтобы функционал оказался функционалом влияния, мы должны в соответствии с правилом I положить
(t,t')
=
*(t,t')
(12.100)
и
(t,t')
=
*(t,t')
(12.101)
Правило II даёт нам больше информации. Если положить q(t)=q'(t) для t>a и t'<a, то выражение
a
a
[
(t,t')
q(t)
q(t')
+
(t,t')
q'(t)