Квантовая механика и интегралы по траекториям
Шрифт:
n n(Qi) *n(Q'i) e– En ,
т.е. на матрицу плотности (Qi,Q'i) выведенную в § 1 гл. 10. Интегралы по-прежнему остаются гауссовыми.
причём G определяется равенством (8.138), а * равенством (8.143) с заменой (t) на Cq(t). Аналогично интеграл по Q является комплексно-сопряжённой величиной для такого же выражения, где (t) следует лишь заменить на Cq'(t).
E(q,q')
=
m
G
m0
G
'*
m0
=
n
(m!)
– 1/2
(i*)
m
G
00
(m!)
– 1/2
(-i')
m
G'
00
=
=
G
00
G'
00
e
*'
.
(12.119)
Как и ожидалось, подстановка равенств (8.138) и (8.143) приводит к функционалу F типа (12.104), но при этом
(t,t')
=
C^2
2
e
– i(t,t')
.
(12.120)
Например, члены с qq' в выражении (12.104) получаются прямо из члена *' в экспоненте; соотношение (8.143) для этого случая даёт
C^2
2
q(t)
e
it
dt
q'(t)
e
– it
dt
=
=
C^2
2
t
[
q(t)
q'(t')
e
i(t-t')
+
q'(t)
q(t')
e
i(t-t')
]
dt'
dt
.
(12.121)
Поэтому определяемая преобразованием (12.109) величина a равна
a
=
C^2
2
0
e
– it
e
– it
dt
=
C^2
2
– i
PP
1
+
+
(+)
(12.122)
[см. равенство (5.17) и приложение], так что действительная часть
a
R
=
C^2
2
(+)
.
(12.123)
Для положительных эта величина обращается в нуль. Как и ожидалось, мы получили «холодную среду», определяемую выражением (12.114).
Если действует много независимых осцилляторов с различными частотами, то, согласно правилу IV, их функции aR складываются. Поэтому в таком гауссовом приближении любая холодная система эквивалентна континууму осцилляторов, находящихся в основном состоянии. Это — следствие того, что для отрицательных любую функцию aR можно построить из -функций в форме (12.123).
Другой интересный пример — это взаимодействие с осциллятором при конечной температуре. Если температура равна T, то начальное состояние — это состояние n с относительной вероятностью e– En/kT. В нашем случае абсолютная вероятность
w
n
=
e
– nh/kT
(1-e
– h/kT
)
.
(12.124)
Если бы начальным было состояние n, то функционал влияния имел бы вид
F
n
=
m
G
mn
G
'*
mn
,
(12.125)
а не (12.119). Используя правило III, сложим эти функционалы с весами wn, так что окончательное выражение для функционала F равно
F
=
m,n
G
mn
G
'*
mn
e
– nh/kT
(1-e
– h/kT
)
.
(12.126)
Эту сумму трудно получить непосредственно из выражения (8.145). Она равна
F
=
G
00
G'
00
e
*'
exp
–
(-')(*-'*)
eh/kT– 1
.
(12.127)
Вместо (12.123) для aR получается выражение
a
R
=
C^2
2
eh/kT
eh/kT– 1
(+)
+
1
eh/kT– 1
(-)
,
(12.128)
а суммы таких выражений для многих осцилляторов дают описание среды. Здесь возможны переходы как к меньшим (<0), так и к большим энергиям.
Заметим, что если >0, то обратится в нуль первая -функция, тогда как при <0 равна нулю вторая -функция; кроме того, как и следовало ожидать,