Квантовая механика и интегралы по траекториям
Шрифт:
Если система находится в состоянии n и на неё не действует потенциал, то она будет всегда находиться в этом состоянии с амплитудой, которая изменяется со временем. Таким образом, в нулевом порядке mn = mn exp [-(iEn/h)(t2– t1)]. Член первого порядка мы можем интерпретировать в соответствии со следующим правилом (фиг. 6.11): амплитуда вероятности рассеяния из состояния n в состояние m за промежуток времени dt равна– (i/h)Vmndt.
Фиг. 6.11.
При этом амплитуда рассеяния в k-е состояние будет пропорциональна Vkn. В частности, амплитуда рассеяния из состояния n в состояние m за время dt равна -(i/h)Vmndt.
Задача 6.16. Интерпретируйте соотношение (6.71), рассмотрев его как сумму по всем альтернативам, т.е. укажите эти альтернативы.
Задача 6.17. Интерпретируйте формулу (6.72), объяснив значение каждого члена. После этого выведите и объясните смысл соответствующей формулы для коэффициента во втором порядке теории возмущений:
(2)
mn
=-
1
h^2
t2
t1
t4
t1
k
exp
–
i
h
E
m
(t
2
– t
4
)
V
mk
(t
4
)
x
x
exp
–
i
h
E
k
(t
4
– t
3
)
V
kn
(t
3
)
exp
–
i
h
E
n
(t
3
– t
1
)
dt
3
dt
4
.
(6.74)
Задача 6.18. Получите и объясните интегральное уравнение
mn
(t
2
,t
1
)
=
mn
exp
–
i
h
E
m
(t
2
– t
1
)
–
–
i
h
t2
t1
exp
–
i
h
E
m
(t
2
– t
3
)
k
V
mk
(t
3
)
kn
(t
3
,t
1
)
dt
3
.
(6.75)
Задача 6.19.
d
dt2
mn
(t
2
)
=-
i
h
k
exp
i
h
(E
m
– E
n
)t
2
x
x
V
mk
(t
2
)
kn
(t
2
)
–
i
h
E
m
mn
(t
2
)
.
(6.76)
Дайте физическую интерпретацию этого результата. Затем получите этот результат непосредственно из уравнения Шрёдингера.
Замечание. Для этого следует воспользоваться формулой (6.73), подставив её в уравнение Шрёдингера.
Отметим, что уравнение (6.76) вместе с начальным условием mn(t1)=mn может быть использовано для непосредственного определения коэффициента .
Мы можем рассматривать все члены ряда (6.69) в соответствии с правилом, которое гласит: выражение -(i/h)Vmn(t)dt является амплитудой рассеяния (или индуцированного перехода) из состояния n в состояние m в течение промежутка времени dt, вызванного потенциалом V. Переход из состояния n в состояние m может произойти посредством 0, 1, 2, … и большего числа рассеяний. Прямой переход из одного состояния в другое без рассеяния может происходить только в случае, когда m=n; именно поэтому первый член в разложении (6.69) пропорционален mn.