Квантовая механика и интегралы по траекториям

Фейнман Ричард Филлипс

e^(i/h)T– 1

d

,

где =(E_m– E_k). Это выражение интегрируется по малой области, скажем от - до +. Имеем

^–

e^(i/h)T– 1

d

=

_T/h

^{– T/h}

e^iy– 1

y

dy

=

_T/h

^{– T/h}

cos y-1

y

+

i sin y

y

dy

.

(6.101)

Первый

интеграл в этом выражении берётся от нечётной функции и обращается в нуль. Второй интеграл стремится к конечному пределу, когда T-> (так как T/h->):

2i

⁰

sin y

y

dy

=

2i,

так что вероятность перехода невелика. Эта вероятность может стать значительной только в том случае, когда энергии E_n и E_m практически равны друг другу, так как совпадение двух полюсов (E_k– E_n)^{– 1} и (E_m– E_k)^{– 1} приводит к возрастанию роли второго члена. Поэтому мы продолжим анализ, предположив, что E_m и E_n приблизительно равны.

Выбрав некоторое малое значение энергии , разделим сумму по k в выражении (6.98) на две части: часть A, для которой |E_k– E_n|>=, и часть B, для которой |E_k– E_n|<. Величину мы выберем настолько малой, чтобы коэффициент V_mkV_kn был приблизительно постоянен, когда энергия E_k будет принимать значения в интервале 2 вблизи точки E_n. Выбранная таким образом величина разности энергий является конечной величиной, и T можно взять настолько большим, чтобы выполнялось h/T << , а это означает, что |E_n– E_m|<<.

Итак, для части A выполняется неравенство |E_k– E_n|>=. Тогда второй член невелик, так как он не имеет полюсов. Вклад вносит только первый член, и он равен

a

e^ix– 1

x

T

h

,

(6.102)

где x=(E_m– E_n)T/h и

a

=

_(A)

^k

V_mkV_kn

E_k– E_n

.

Суммирование здесь выполняется по всем значениям E_k, за исключением тех, которые попадают в интервал ± вблизи E_m. Эта сумма почти не зависит от , и когда ->0, она определяет главное значение интеграла. Поэтому в пределе при ->0 мы можем написать

a

=

V

_mn

+

 

^k

V

_mk

V

_kn

PP

1

E_k– E_n

,

(6.103)

где выписан член первого порядка и символом PP отмечено, что он берётся в смысле главного значения.

В части B мы будем считать фактор V_mkV_kn постоянным и равным его значению в точке E_k=E_m. Другими словами, мы заменим

_(B)

^k

V

_mk

V

_kn

F(E

_k

)

выражением

 

^k

V

_mk

V

_kn

(E

_k

– E

_m

)

_Em+

^E_m–

F(E

_k

)

dE

_k

,

(6.104)

которое запишем как в I, где

b

=

 

^k

V

_mk

V

_kn

(E

_k

– E

_m

)

(6.105)

и

I

=

_Em+

^E_m–

dE_k

E_k– E_n

e^{(i/h)(E_m– E_n)T}– 1

E_m– E_n

–

e^{(i/h)(E_m– E_k)T}– 1

E_m– E_k

.

(6.106)

Положив далее (E_m– E_n)(T/h)=x и (E_k– E_n)(T/h)=y, так что (E_m– E_k)(T/h)=x-y, получим

I

=

T

h

_T/h

^{– T/h}

dy

y

e^ix– 1

x

–

e^i(x-y)– 1

x-y

.

(6.107)

Этот интеграл легче всего вычислить интегрированием по контуру, считая y комплексной переменной и деформируя контур интегрирования. Вместо интегрирования по прямой от -T/h до T/h будем интегрировать по полуокружности радиуса T/h ниже действительной оси. Поскольку отношение T/h очень велико, а вклад второго члена пренебрежимо мал и поскольку

_T/h

^{– T/h}

dy