Квантовая механика и интегралы по траекториям

Фейнман Ричард Филлипс

§ 2. Функциональные производные

Обратимся теперь к рассмотрению математического аппарата, который позволит нам в дальнейшем установить интересное соотношение между матричными элементами перехода. Это соотношение приобретает наиболее изящный вид, если воспользоваться понятием функциональной производной. Поскольку с этим математическим понятием знакомы далеко не все, мы целиком посвятим этот параграф его обсуждению.

Численное значение функционала F[x(t)] определено для каждой заданной функции x(t). Зададимся вопросом: как изменится это значение, если немного изменить аргументную функцию x(t)? Другими словами, как велика будет разность F[x(t)+(t)]-F[x(t)], если (t) мало? В первом приближении по (предполагая,

что таковое существует и т.д.) эта разность представляет собой некоторое линейное относительно выражение типа K(s)(s)ds. Определённая таким образом величина K(s) называется функциональной производной функционала F по функции x(t) в точке s и обозначается как F/x(t). Поэтому с точностью до членов первого порядка можно записать соотношение

F[x+]

F[x]

+

F

x(x)

(s)

ds

+… .

(7.20)

Понятно, что производная F/x(t) зависит как от вида функции x(t), так и от значения переменной s, т.е. она является функционалом от x(t) и функцией времени s.

Можно посмотреть на все это и с другой точки зрения. Предположим, что время разделено моментами t_i на очень много маленьких отрезков t=(t_i+1=+t_i).. В этом случае функцию x(t) можно приближённо задать её значениями x_i=x(t_i) в моменты t_i. Функционал F[x(t)] будет тогда зависеть от всех величин x_i, т.е. он превращается в обычную функцию многих переменных x_i.

F[x(t)]

– >

F(…,

x

_i

,

x

_i+1

,

…).

(7.21)

Рассмотрим теперь F/x_i — частную производную этой функции по одному из переменных x_i. Наша функциональная производная есть не что иное, как в точности эта частная производная, поделённая на и взятая в точке t_i=s, т.е.

F

x(s)

– >

1

F

x_i

(7.22)

В этом легко убедиться следующим образом. Если траекторию x(t) заменить на x(t)+(t), то все значения x_i заменятся на x_i+_i, где _i=(t_i), поэтому в первом приближении получаем

F(…,

x

_i

+

_i

,

x

_i+1

+

_i+1

,

…)-

–

F(…,

x

_i

,

x

_i+1

,

…).

=

 

ⁱ

F

x_i

_i

,

(7.23)

что следует из обычных правил вычисления частных производных. Если теперь обозначить (1/)(F/x_i)=K_i, то сумма в (7.23) запишется как

 

ⁱ

K

_i

_i

и

в пределе при ->0 перейдёт в интеграл K(t)(t)dt, так что если этот предел существует, то он равен функциональной производной F/x(s).

Можно также воспользоваться понятием дифференциала. При этом сразу пишется выражение

df

=

 

ⁱ

f

x_i

dx

_i

,

и для первой вариации любого заданного функционала F получим

F

=

F

x(s)

x(s)

ds

,

(7.24)

где x(s) вариация траектории x(s).

Задача 7.1. Для действия, заданного в виде

S=

_t2

_t1

L(x,x,t)

dt

,

покажите, что в любой точке s между t₁ и t₂ выполняется равенство

S

x(s)

=-

d

ds

L

x

+

L

x

,

(7.25)

где все частные производные взяты при t=s.

Задача 7.2. Покажите, что при F[x]=x.

F

x(s)

=

(-s).

(7.26)

Задача 7.3. Покажите, что если

F=exp

1

2

…

j(r

₁

,t

₁

)

j(r

₂

,t

₂

)

x

x

R

(r

₁

– r

₂

,t

₁

– t

₂

)

d^3r

₁

d^3r

₂

d^3t

₁

d^3t

₂

,

то производная F/j(d,s) будет иметь вид

F

j(d,s)

=

–

R

(r-r',t-t')

j(r',t')

dr'

dt'

F.

(7.27)

Заметим, что j(r,t) является функцией четырёх переменных (x,y,z,t). Поэтому для описания точки, в которой берётся функциональная производная, координату s в интегралах [вида, например, соотношения (7.14)] надо заменить набором всех четырёх этих аргументов.

Общее соотношение между функционалами, о котором мы упоминали в начале этого параграфа, можно получить, разлагая в ряд матричный элемент перехода функциональной производной F/x(s). Сделать это легче всего следующим образом. Рассмотрим матричный элемент