Квантовая механика и интегралы по траекториям
Шрифт:
m
xk+1– xk
(x
k
– x
k+1
)
=
i
h
1
.
(7.48)
Можем записать это и по-другому:
xk+1– xk
^2
=
i
hm
1
.
(7.49)
Отсюда
Фиг. 7.1. Типичные траектории квантовомеханической частицы.
Они имеют нерегулярные изломы, если рассматривать их с достаточным увеличением. Таким образом, хотя средняя скорость может быть вычислена, но среднего квадрата скорости не существует. Другими словами, траектории не дифференцируемы.
Если для малого промежутка времени t среднюю скорость определить, например, как [x(t+t)-x(t)]/t, то «среднеквадратичная скорость» для малого интервала времени конечна, но величина её будет тем больше, чем меньше взятый интервал.
Итак, мы знаем, что квантовомеханические траектории весьма хаотичны. Однако, будучи усреднёнными по разумному отрезку времени, эти хаотичности приводят к разумной величине дрейфа, т.е. к «средней скорости», несмотря на то что для коротких временных интервалов такая «средняя» величина скорости очень велика.
Задача 7.6. Покажите, что для частицы, движущейся в трёхмерном пространстве (x,yz), справедливы соотношения
(x
k+1
– x
k
)^2
=
(y
k+1
– y
k
)^2
=
(z
k+1
– z
k
)^2
=-
i
hm
,
(7.50)
(
x
k+1
– x
k
)(
y
k+1
– y
k
)=(
x
k+1
– x
k
)(
z
k+1
– z
k
)=
=(
y
k+1
– y
k
)(
z
k+1
– z
k
)=0.
(7.51)
Отсюда видно, что матричный элемент кинетической энергии нельзя написать просто как
1
2
m
xk+1– xk
^2
(7.52)
поскольку эта величина неограниченно растёт при стремлении к нулю. Как же получить правильное выражение для кинетической энергии? Сделаем эвристическое предположение, что нам будет достаточно ограничиться рассмотрением тех функционалов F, которые исследуются методами теории возмущений. Тогда возникает
Для простоты интервал t можно положить равным , как это было уже сделано нами в определении пространственных переменных xk, и т.д.; тогда в разложении по возмущениям член первого порядка, поделённый на , будет равен кинетической энергии частицы. Ясно, что изменение действия S будет равно (m/2)(xk+1– xk)^2/^2 [если в выражении (7.38) в члене с индексом i=k массу m заменить на m(1+)]. Однако это не единственное изменение в интеграле по траекториям, вызываемое вариацией массы. Дело в том, что, кроме величины самого интеграла, изменяется также (на величину /2) коэффициент нормировки A, пропорциональный m 1/2 . Следовательно, полное изменение интеграла по траекториям, обусловленное малой вариацией m, после деления на запишется (с точностью до первого порядка) в виде
i
h
m
2
(xk+1– xk)^2
^2
+
h
2i
,
(7.53)
а это не что иное, как кинетическая энергия, умноженная на величину i/h.
Из равенства (7.49) можно было бы заключить, что это выражение равно нулю. Однако само равенство (7.49) выполняется лишь в пределе при ->0 с точностью до членов порядка 1/, в то время как (7.53) при таком же предельном переходе остаётся конечным. Это выражение можно переписать иначе, если разложить квадратичный член. В уравнении (7.40) положим F равным xk+1– xk Сохраняя члены низшего порядка по , получаем
m
2
xk+1– xk
xk– xk-1
=
m
2
xk+1– xk
^2
+
h
2i
1.
(7.54)
Таким образом, левую часть уравнения (7.54) можно рассматривать как матричный элемент кинетической энергии. Отсюда видно, что простейший способ написания матричных элементов перехода, содержащих различные степени скоростей, заключается в замене этих степеней произведениями скоростей, в которых каждый множитель немного отличается от другого небольшим сдвигом во времени.
В простых задачах матричные элементы перехода иногда можно вычислить непосредственно. Тот же самый результат в этих задачах можно получить, воспользовавшись соотношениями для матричных элементов перехода, которые мы нашли в § 2. Из этих соотношений получаются разрешимые дифференциальные уравнения для матричных элементов. Для иллюстрации рассмотрим теперь несколько примеров применения нашего общего метода, однако, как будет видно, все задачи, для которых этот метод окажется результативным, настолько просты, что и непосредственное вычисление матричных элементов фактически вряд ли будет сложнее.