Квантовая механика и интегралы по траекториям
Шрифт:
|p
1
|
=
|1|
h
i
x1
.
(7.88)
что совпадает с результатом, полученным в соотношениях (7.78) и (7.79).
В случае усложнения функции действия S, что может произойти, если частично исключить взаимодействие, надо ввести функционал p(t), соответствующий импульсу в момент времени t. В § 4 было дано общее определение этого функционала. Вариация амплитуды перехода |1| (в первом приближении, когда все координаты, соответствующие предшествующим
Задача 7.12. Покажите, что если некоторая функция V зависит только от пространственных координат, то
dV
dt
=
V(xk+1)-V(xk)
=
i
h
–
*
(HV-VH)
dx
.
(7.89)
Рассмотрите случай, когда V является также функцией времени. Покажите, что матричный элемент перехода для производной dV/dt совпадает с матричным элементом для оператора (i/h)(HV-VH)+V/t.
Задача 7.13. Покажите, что
|mx|
=
i
h
–
*
(Hp-pH)
dx
.
(7.90)
а также, что для любой величины A (записанной через операторы или любым другим способом) производная A/t равна
A
t
+
i
h
(HA-AH)
.
Если рассмотреть выражение для функции F, зависящей от двух последовательных очень близких значений координат:
F
=
m(xk+1– xk)
x
k
,
(7.91)
то, очевидно, получим
|F|
=
1
–
–
*
(x;t+)
mx
K(x,t+;y,t)
y
(y,t)
dy
dx
–
1
*(x,t)
mx^2
(y,t)
dx
,
(7.92)
где t=tk. Выше, выводя соотношение (4.12) из (4.2), мы получили
–
K(x,t+;y,t)
f(y)
dy
=
f(x)
+
i
h
Hf(x)
.
(7.93)
Поэтому первый интеграл в выражении (7.92) равен
1
–
*
(x;t+)
mx
1+
i
h
H
x
(x,t)
dx
.
(7.94)
Выразив
1
–
*
(x;t)
1-
iH
h
mx
1+
i
h
H
x
(x,t)
dx
=
=
1
–
*
(x;t)
mx^2
(x,t)
dx
+
1
h
–
*
(x;t)
m
(xH-Hx)
x
(x,t)
dx
.
(7.95)
Тогда окончательно имеем
|m
xk+1– xk
x
k
|
=
i
h
*(x;t)
m
(xH-Hx)
x
(x,t)
dx
=
=
*(x;t)
px
(x,t)
dx
.
(7.96)
Для последнего преобразования здесь применялось соотношение (7.78).
Мы рассмотрели пример использования общего правила. В интеграле, который определяет матричный элемент перехода для системы величин, зависящих от последовательных моментов времени, соответствующие операторы размещаются справа налево в том же порядке, как расположены во времени исходные матричные элементы перехода. Если интервал времени конечен и равен t, то в элемент перехода надо включить ядро K=exp [-(i/h)St], соответствующее этому отрезку времени (см., например, задачу 7.16). Когда расстояние е между двумя соседними точками стремится к нулю, ядро K приближается к -функции, откуда и следует указанное выше правило.
Задача 7.14. Покажите, что амплитуда вероятности перехода для величины (m/) (xk+1– xk)f(xk+1) совпадает с амплитудой для (f·p)
Задача 7.15. Покажите, что указанное выше правило выполняется для двух последовательных импульсов, т.е.
m
xk+1– xk
m
xk– xk-1
=
–
*(y,t)
pp
(x,t)
dx
dy
=
=
– h^2
–
*(y,t)
^2
x^2
(y,t)
dx
dy
.
(7.97)
Задача 7.16. Покажите, что
x
l
mxk+1– xk
=
*(x,t)
x
K(x,t;y,s)
h
i
y