Квантовая механика и интегралы по траекториям

Фейнман Ричард Филлипс

|p

₁

|

=

|1|

h

i

x₁

.

(7.88)

что совпадает с результатом, полученным в соотношениях (7.78) и (7.79).

В случае усложнения функции действия S, что может произойти, если частично исключить взаимодействие, надо ввести функционал p(t), соответствующий импульсу в момент времени t. В § 4 было дано общее определение этого функционала. Вариация амплитуды перехода |1| (в первом приближении, когда все координаты, соответствующие предшествующим

моментам t, смещены на -) равна произведению этого сдвига на матричный элемент |p(t)|. Отсюда для сколь угодно сложной функции S можно найти функционал от импульса. Аналогично может быть определён гамильтониан (и функционал от энергии), если ввести подобный сдвиг в переменные времени, как это делалось в § 7 гл. 7.

Задача 7.12. Покажите, что если некоторая функция V зависит только от пространственных координат, то

dV

dt

=

V(x_k+1)-V(x_k)

=

i

h

^–

*

(HV-VH)

dx

.

(7.89)

Рассмотрите случай, когда V является также функцией времени. Покажите, что матричный элемент перехода для производной dV/dt совпадает с матричным элементом для оператора (i/h)(HV-VH)+V/t.

Задача 7.13. Покажите, что

|mx|

=

i

h

^–

*

(Hp-pH)

dx

.

(7.90)

а также, что для любой величины A (записанной через операторы или любым другим способом) производная A/t равна

A

t

+

i

h

(HA-AH)

.

Если рассмотреть выражение для функции F, зависящей от двух последовательных очень близких значений координат:

F

=

m(x_k+1– x_k)

x

_k

,

(7.91)

то, очевидно, получим

|F|

=

1

^–

^–

*

(x;t+)

mx

K(x,t+;y,t)

y

(y,t)

dy

dx

–

1

*(x,t)

mx^2

(y,t)

dx

,

(7.92)

где t=t_k. Выше, выводя соотношение (4.12) из (4.2), мы получили

^–

K(x,t+;y,t)

f(y)

dy

=

f(x)

+

i

h

Hf(x)

.

(7.93)

Поэтому первый интеграл в выражении (7.92) равен

1

^–

*

(x;t+)

mx

1+

i

h

H

x

(x,t)

dx

.

(7.94)

Выразив функцию * при помощи соотношения (7.76) и использовав эрмитовость гамильтониана H, преобразуем рассматриваемый интеграл к виду

1

^–

*

(x;t)

1-

iH

h

mx

1+

i

h

H

x

(x,t)

dx

=

=

1

^–

*

(x;t)

mx^2

(x,t)

dx

+

1

h

^–

*

(x;t)

m

(xH-Hx)

x

(x,t)

dx

.

(7.95)

Тогда окончательно имеем

|m

x_k+1– x_k

x

_k

|

=

i

h

*(x;t)

m

(xH-Hx)

x

(x,t)

dx

=

=

*(x;t)

px

(x,t)

dx

.

(7.96)

Для последнего преобразования здесь применялось соотношение (7.78).

Мы рассмотрели пример использования общего правила. В интеграле, который определяет матричный элемент перехода для системы величин, зависящих от последовательных моментов времени, соответствующие операторы размещаются справа налево в том же порядке, как расположены во времени исходные матричные элементы перехода. Если интервал времени конечен и равен t, то в элемент перехода надо включить ядро K=exp [-(i/h)St], соответствующее этому отрезку времени (см., например, задачу 7.16). Когда расстояние е между двумя соседними точками стремится к нулю, ядро K приближается к -функции, откуда и следует указанное выше правило.

Задача 7.14. Покажите, что амплитуда вероятности перехода для величины (m/) (x_k+1– x_k)f(x_k+1) совпадает с амплитудой для (f·p)

Задача 7.15. Покажите, что указанное выше правило выполняется для двух последовательных импульсов, т.е.

m

x_k+1– x_k

m

x_k– x_k-1

=

^–

*(y,t)

pp

(x,t)

dx

dy

=

=

– h^2

^–

*(y,t)

^2

x^2

(y,t)

dx

dy

.

(7.97)

Задача 7.16. Покажите, что

x

_l

mx_k+1– x_k

=

*(x,t)

x

K(x,t;y,s)

h

i

y