Квантовая механика и интегралы по траекториям
Шрифт:
k
S
кл
(x
k+1
,t
k+1
;x
k
,t
k
)
,
содержащей классическое действие Sкл для перехода между двумя соседними точками. Нет необходимости вычислять действие Sкл точно, для этого достаточно приближения, исключающего описанную выше двузначность. С этой точки зрения выражения (7.103)
S
кл
[k+1,k]
=
m|rk+1– rk|^2
2
+
+
1
2
[
A(r
k+1
,t
k+1
)
+
A(r
k
,t
k
)
]
·
(r
k+1
– r
k
)
.
(7.107)
Теперь понятно, что правильное выражение для возмущения равно среднему от выражений (7.103) и (7.104) и матричный элемент перехода в (7.99) равен
k
(r
k+1
– r
k
)
·
[
A(r
k+1
,t
k+1
)
+
A(r
k
,t
k
)
]
.
(7.108)
Сумму по k вычислим в дальнейшем как некий интеграл по времени, а пока запишем полученный результат в виде оператора (1/2m)(p·A+A·p).
Для электромагнитного потенциала член первого порядка в разложении по возмущениям имеет тот же самый вид, что и член первого .порядка в соотношении (6.11), лишь потенциал V заменяется оператором
–
e
2cm
(p·A+A·p)
.
Во втором приближении это уже неверно. Здесь необходимо вычислить
1
2
e
hc
^2
r
·
A(r
k
,t
k
)
^2
=
1
2
e
hc
^2
k
l
[r
k+1
– r
k
]
x
x
1
2
[
A(r
k+1
,t
k+1
)
+
A(r
k
,t
k
)
]
[r
l+1
– r
l
]
x
1
2
[
A(r
l+1
,t
l+1
)
+
A(r
l
,t
l
)
]
.
(7.109)
Если k/=l,
e^2
2c^2
+
ih
m
k
1
2
[
A(r
k+1
,t
k+1
)
+
A(r
k
,t
k
)
]
^2
(7.110)
что эквивалентно интегралу ie^2/2mc^2 [A(r,t) ·A(r,t)] dt и приводит к тому же результату, что и член нулевого порядка функции действия для потенциала (e^2/2mc^2) A·A.
Таким образом, разложение по возмущениям для действия, зависящего от вектора-потенциала A, имеет тот же вид, что и разложение (6.17), только потенциал V здесь заменён оператором -e/2mc (p·A+A·p) +e^2/2mc^2 A·A. Мы показали это с точностью до членов второго порядка по A; путём небольшого дополнительного рассмотрения можно показать, что все это верно в любом приближении.
Гамильтониан для частицы в поле с вектором-потенциалом A можно записать в виде
H
=
1
2m
p-
e
c
A
·
p-
e
c
A
.
(7.111)
Это выражение отличается от аналогичного выражения для свободной частицы [Hсвоб=(1/m) p·p] тем, что здесь стоит оператор -e/2mc (p·A+A·p) +e^2/2mc^2 A·A. Такая запись позволяет гораздо проще получить те результаты, которые мы до сих пор выводили непосредственными преобразованиями.
§ 7. Гамильтониан
Используя полученные выше результаты, легко написать амплитуду перехода для гамильтониана, сложив амплитуду перехода для квадрата импульса, делённую на 2m, и амплитуду перехода для потенциала. Таким образом, для момента времени tk гамильтониан может быть записан как
H
k
=
m
2
xk+1– xk
xk– xk-1