Квантовая механика и интегралы по траекториям
Шрифт:
(y,s)
dx
dy
,
(7.98)
если yl=y и yk=s при yl>yk. Что будет, если yl<yk?
Заметим, что p^2 соответствует произведению pp (произведению двух последовательных значений импульса, подобно тому как это было в задаче 7.15), что не равно простому квадрату импульса |m^2(xk+1– xk)^2/^2|,
m^2(xk+1– xk)^2
^2
=
mh
i
|1|
+
+
m
xk+1– xk
m
xk– xk-1
.
(7.99)
Задача 7.17. Докажите это соотношение, применяя формулу (7.40) и полагая
F
=
m
(x
k+1
– x
k
).
§ 6. Разложение по возмущениям для векторного потенциала
Сингулярность в матричном элементе перехода для квадрата скорости, выражаемая равенством (7.49), заставляет нас весьма осторожно рассматривать многие соотношения, содержащие скорости. Запишем, например, лагранжиан частицы, находящейся в электромагнитном поле, так:
L
=
m
2
|r|^2
+
eV(x,y)
–
e
c
r
·
A(r,y)
.
(7.100)
Пусть потенциал V равен нулю; мы учтём лишь векторный потенциал A, рассматривая его как малое возмущение. Обозначив
S
0
=
m
2
|r|^2
dy
,
=
–
e
c
r
·
A(r,y)
dy
,
запишем разложение в ряд теории возмущений и введём соответствующие матричные элементы перехода:
e
i/h
S0
=
1
S0
+
i
h
S0
–
1
2h^2
^2
S0
+… .
(7.101)
Член первого порядка равен величине -ie/hc умноженной на выражение
r
·
A(r,y)
dy
.
(7.102)
Нам удобнее переписать это в операторных обозначениях. При определении возмущения для дискретно заданной траектории (шаг определяется временны'м интервалом ) можно было бы записать
=-
e
c
k
(r
k+1
– r
k
)
·
A(r
k
,y)
(7.103)
или
=-
e
c
k
(r
k+1
– r
k
)
·
A(r
k+1
,y
k+1
)
.
(7.104)
В обоих случаях, переходя к пределу непрерывной траектории, получим отсюда интеграл для . Однако если мы будем рассматривать только одну из компонент вектора A (например, Ax), то обнаружим, что компонента Ax(rk+1,yk+1) отличается от Ax(rk,yk) приблизительно на величину
(r
k+1
– r
k
)
·A
x
+
Ax
t
(7.105)
которая после умножения снова на rk+1– rk должна бы быть поправкой второго порядка для каждого значения k, а после суммирования по всем k — поправкой лишь порядка . Однако наши траектории не являются непрерывными и матричный элемент перехода для квадрата среднего значения разности xk+1– xk будет величиной первого порядка малости. Действительно (см. задачу 7.6),
(x
k+1
– x
k
)^2
–
h
mi
,
(x
k+1
– x
k
)
(y
k+1
– y
k
)
0,
(y
k+1
– y
k
)^2
–
h
mi
и т.д.
с точностью до членов первого порядка по . Следовательно, выражения (7.103) и (7.104) различаются приблизительно на
k
h
mi
·
A(r
k
,t
k
)
=
h
mi
·
A
dt
,
(7.106)
т.е. на величину нулевого порядка. Отсюда можно заключить, какая же форма выражения для будет правильной.
Общий ответ на подобный вопрос излагался в гл. 2, где было сформулировано правило для замены действия S суммой вида