Квантовая механика и интегралы по траекториям
Шрифт:
f(t)
=
–
e
it
d
2
(6.96)
и положить 0=(E2– E1)/h. В случае, когда f(t) — известная из теории шумов статистически нерегулярная функция (так называемый фильтрованный белый шум), величина , определяемая обратным преобразованием
=
T
– T
f(t)
e
it
et
,
(6.97)
оказывается
Высшие члены разложения. Интересно рассмотреть второй член ряда теории возмущений. Он особенно важен в тех задачах, где для интересующих нас состояний m и n потенциал Vmn. Допустим, что в такой задаче имеются другие состояния k/=m для которых Vkm/=0. Член первого порядка равен нулю, а поскольку n/=m, то член нулевого порядка также обращается в нуль. Поэтому первый член, который следует учитывать при вычислении амплитуды перехода, является членом второго порядка.
Предположим, что потенциал V не зависит от времени t. Тогда член второго порядка в матричном элементе перехода будет равен ^2mn, и если T=t2– t1, то из соотношения (6.74) будет следовать, что
e
(i/h)(Emt2– Ent1)
(2)
mn
=-
1
h^2
k
V
mk
V
kn
T
0
dt
4
t3
0
dt
3
x
x
e
(i/h)(Em– Ek)t4
e
(i/h)(Ek– En)t4
=
=
i
h
k
V
mk
V
kn
T
0
e
(i/h)(Em– Ek)t4
(e
(i/h)(Ek– En)t4
– 1)
dt4
Ek– En
=
=
k
VmkVkn
Ek– En
e(i/h)(Em– En)T– 1
Em– En
–
e(i/h)(Em– Ek)T– 1
Em– Ek
.
(6.98)
Первый из двух членов в последнем сомножителе этого выражения зависит от времени точно так же, как и член первого порядка, с которым мы уже встречались ранее. Следовательно, если мы отбросим второй член, то получим результат, который снова с вероятностью, пропорциональной T, описывает переход в состояния с энергией Em=En. Вероятность на единицу времени здесь опять-таки определяется выражением (6.86), но только матричный элемент Mn->m принимает вид
M
n->m
=
k
VmkVkn
Ek– En
.
(6.99)
Если предположить, что состояния системы лежат в непрерывном спектре, то сумма (6.99) превратится в интеграл.
Соотношение (6.99) верно лишь при условии, что переходы первого порядка невозможны не только в состояние m, но и в любое состояние k, имеющее ту же самую энергию, что и начальное состояние. В этом случае Vkn=0 для всех состояний, у которых Ek=En. Таким образом, второй член в формуле (6.98) никогда не будет большим, так как он может стать таковым лишь в том случае, когда разность En– Ek почти равна нулю, но при этом и величина Vkn в числителе также будет близкой к нулю. Так как все эффекты обусловлены первым членом, то формула (6.99) является математически корректной. Более того, сумма по k в выражении (6.98) может иметь предел и в полюсе (точке Ek=Em, поскольку числитель этого выражения обращается в нуль при том же значении Ek, что и знаменатель.
С другой стороны, может быть такая ситуация, когда станет возможен переход первого порядка в некоторое другое непрерывное состояние (например, распад ядра может происходить различными путями). В этом случае сумма в формуле (6.99) теряет смысл, так как мы должны определить, что нам делать в окрестности полюса. Для этого в формуле (6.98) надо учесть ранее отброшенный нами второй член разложения, который в нределе при ->0 и даёт нам математически правильное выражение:
M
n->m
=
V
mn
+
k
VmkVkn
Ek– En– i
(6.100)
(для общности здесь выписан также и член первого порядка). Проанализируем теперь, как это происходит.
Прежде всего следует заметить, что при больших значениях T мы можем получить большую величину вероятности перехода (т.е. вероятность, пропорциональную T) лишь в том случае, когда энергии En и Em практически равны друг другу (с точностью до величин порядка h/T). Это очевидно для первого члена в формуле (6.98). Что касается второго члена, то большие амплитуды могут появиться здесь лишь тогда, когда EkEm; если же энергия Em не слишком близка к En, то коэффициент, стоящий перед всем выражением, является гладкой функцией Ek для всех значений Ek, близких к Em. Приближённо заменив эту функцию константой в малой области вблизи Ek=Em, мы видим, что второй член может быть аппроксимирован некоторой постоянной величиной, помноженной на фактор