Магия чисел. Математическая мысль от Пифагора до наших дней

Белл Эрик Темпл

Существует и другая историческая подробность особой важности. Один из самых ранних шагов биологических наук – классификация. Все привыкли, например, аккуратно распределять все растения и животных по семействам, в соответствии с некоторыми особенностями, типичными для всех членов конкретного семейства.

Но этот шаг не дает нам даже переступить через порог естествознания. Пассивного наблюдения тут явно недостаточно. Чтобы обнаружить, скажем, что-нибудь полезное в оптике, свойства света следует наблюдать при искусственных, созданных руками человека условиях, которые никогда не встретить в естественных природных условиях. Например, наблюдать за лучом света до и после прохождения им через призмы и последовательный ряд линз различной кривизны и даже через воздух между полюсами сильного магнита. Во всех этих, созданных человеком условиях все, что может быть измерено, измерено настолько точно, насколько допустимо. Таким образом, числа входят в описание физических

явлений, и «законы» физики выражены насколько возможно в числовой форме.

Это целенаправленное, специально запланированное вмешательство в первозданную природу и является тем, что отличает экспериментально-математический метод современной науки, которому положил начало Галилей, от более раннего метода пассивного наблюдения и классификации. Самым первым известным ученым, применявшим активное вмешательство в естественные природные условия, был Пифагор. Частично он и сам виноват в том, что достойные преемники так затянули со своим появлением. Позже мы с вами увидим, как он сам преуменьшил свое абсолютное величие.

Я теперь отпускаю руку благосклонного читателя, вернее, его внимание. То, что сейчас последует, отмечает тот момент времени, когда ученый человек навсегда разошелся с примитивным человеком и новое измерение было добавлено к человеческой мысли. Без такого добавления наша собственная цивилизация могла бы продвинуться и материально, и технически не дальше, чем погибшие цивилизации Египта и Вавилона.

Если одна веха и затмевает все другие в развитии науки, то веха эта – открытие Пифагором связи между музыкальной гармонией и числами. Он обнаружил, что звуки, испускаемые вибрирующими жилами, зависят самым простым образом только от длины жил, если жилы одинакового качества и в одинаковой степени натянуты. В частности, он отмечал, что длины жил, которые издают первый, пятый и восьмой звуки, находятся в соотношении 6 к 4 и к 3, или, что есть то же самое, в отношении 1 к ²/₃ и ¹/₂. Аналогично пятый и восьмой звуки могут быть получены на одной жиле, натянутой таким образом, что жила «останавливается» на ²/₃ ее длины для пятого и на ¹/₂ длины для восьмого звука. От этого эпохального открытия Пифагор перешел к созданию диатонической шкалы. Она легла в основу почти всей традиционной музыки на протяжении многих столетий. Это открытие также напрямую ускорило появление многого другого, включая золотой век мистической нумерологии, и отсрочило веру в тщательно подготовленный опыт как самый результативный подход к изучению природы.

Правдоподобный отчет о том, как Пифагор сделал это решающее открытие, связан с изобретением сонометра, или монохорда. Именно благодаря опытам с этим простым научным аппаратом он нашел совсем уж неожиданную корреляцию между некоторыми музыкальными интервалами и целыми числами. Аппарат состоял из единственной струны, натянутой на доске с подвижным мостом или «подставкой» (как подставка у скрипки, но не закрепленная) между струной и доской. Движением моста струна могла быть легко разделена на две части, каждая из них вибрировала независимо от другой. Напряжение частей оставалось (очень приблизительно) постоянным, когда клин перемещался на позиции ¹/₂, ²/₃, ³/₄ и так далее от общей длины струны, причем длина частей струны поддавалась точному измерению.

Возможно, достаточно было бы и более простого инструмента, изобретенного каким-нибудь дикарем еще из каменного века. Например, тяжелого камня, привязанного к ветке дерева, ремня, вырезанного из шкуры северного оленя. Закон музыкальных интервалов, открытый Пифагором, можно было открыть и без тщательно продуманных опытов.

Многие древние охотники и воины, скорее всего, слышали протяжный звук тетивы. Но делали ли они из простого наблюдения хоть какие-нибудь умозаключения? Если кто-то и делал, это никак не повлияло на цивилизацию в целом. Шагнув много дальше простого статичного наблюдения, Пифагор вмешался в природу и своими решительными действиями привнес в мир нечто новое. Мастерство научного эксперимента. Насколько известно, он был первым, кто задумался над созданием прибора, задуманного и тщательно выполненного для того, чтобы заставить природу ответить на определенный вопрос: связана ли гармония с числами и если связана, то каким образом определить и рассчитать эту связь?

Неудивительно, что легенда называет Пифагора сыном Аполлона, бога музыки и песен. Даже современный ученый должен поразиться явной удаче, которая побудила Пифагора выбрать такой многообещающий предмет для экспериментального исследования. При тех неисчислимых явлениях вокруг, способных разбудить его пытливое любопытство и стимулировать его деятельное воображение, ученый выбрал именно ту научную проблему, которая идеально подходила для математика-теоретика. Электрические искры от натертого янтаря, должно быть, озадачивали Пифагора, как и его учителя Фалеса; но Аполлон или же его собственный научный инстинкт осторожно отвел его прочь от запутанной тайны, загонявшей в тупик. Если бы Пифагор искал числа в электричестве, он все еще продолжал бы искать их до сих пор. Как, впрочем, и мы; слишком много более простых фактов природы следовало понять прежде, чем электричество стало доступным, и необходимое понимание наступило только благодаря терпеливому движению по пути эксперимента, впервые указанного нам Пифагором. Вплоть до ХХ столетия электрические частицы не были выделены, и только тогда доказано экспериментально, что электричество соответствует мечте Пифагора о целых числах. Но в акустике поиск был короток. Соотношение между числами и музыкальными интервалами – почти на поверхности физики, и нужно только, чтобы простейший прибор полностью раскрыл это соотношение. И объективно удачным оказалось для первого экспериментатора, что соотношения определяются во всех наиболее важных аспектах только самым простым видом чисел, положительными целыми числами – 1, 2, 3, 4… и их наиболее понятными дробями ¹/₂, ²/₃, ³/₄… Таким образом, будучи первым экспериментатором, Пифагор стал одним из величайших ученых в истории, но он также оказался и одним из самых везучих. Что-то побудило его выбрать именно эту физическую проблему из всего сонма проблем, попадавших в поле его зрения, и вряд ли существовала хоть малейшая надежда, что он бы нашел их решение. Его

счастливый выбор, возможно, был только слепой удачей. И хотя любой здравомыслящий человек может посчитать бесчисленное множество задач доступными для решения, удача сопутствует лишь тем, кто не только способен выбрать задачи, достойные их внимания, но и способен понять себя. «Познай себя» – таков был завет Фалеса. Только гении высокого и редкого порядка способны разобраться, какие задачи, достойные внимания, им по силам, а какие нет. Иногда приходится слышать, будто Пифагор не открыл ничего фундаментально нового, ведь точная запись данных наблюдений и последующие расчеты, например в астрономии, были уже привычным делом еще до его рождения. В астрономии мы наблюдаем, ведем запись наших наблюдений, всякий раз, когда это возможно, преобразуем их в числовые значения и выдвигаем гипотезу, чтобы все коррелировать. Если гипотеза не согласовывается с дальнейшими наблюдениями, мы не знаем, как, выполнив земной эксперимент, изменить гипотезу или подтвердить. Мы можем совершенствовать или изменять наши методы вычисления; но это совсем не означает, что мы контролируем до определенной степени исследуемые явления. Мы никак не сможем перемещать небесные тела по своему желанию, тем самым изменяя условия. Нам остается только наблюдать и не дано вмешиваться. Но в той науке, которая началась с Пифагора, исследователь управляет условиями, в которых он ведет слежение. Если изменения температуры, например, мешают точным измерениям металлического прута, нам легко держать прибор в постоянной температуре. Но никто до сих пор не преуспел в изоляции всех небесных тел, кроме двух, чтобы упростить проблему точного описания движения планет.

Пифагор впервые применил на практике новую и переломную схему: в научном исследовании появляется целевое вмешательство исследователя в исходный природный материал. Он мог годами вслушиваться в соразмерность звучания природных звуков, пока не состарился бы и не оглох, но не продвинулся бы в ее изучении дальше своих не слишком любознательных предков из каменного века. Но стоило ему начать натягивать струны, издавать при их помощи звуки и измерять их длины, как он обеспечил науку новым смыслом.

Надо заметить, что во всех случаях наблюдатель неразрывно связан со всем, что он наблюдает. Эксперимент и экспериментатора нельзя разделить. Сколько из наблюдаемого и измеряемого экспериментатором присуще самой природе и сколько привносит в природу он сам или его методы наблюдения и измерения? Вопрос этот в конечном счете, по сути, равноценен вопросу об изобретении или открытии чисел.

Пифагора, похоже, этот вопрос не беспокоил, Платона, очевидно, наоборот. Но только в ХХ столетии метафизика естествознания подняла этот вопрос в острой форме.

На одном полюсе – те, кто полагают, что познать физические свойства каждого конкретного явления или предмета можно лишь через последовательность действий, которые выполняются под наблюдением. Для этих «операционистов» бессмысленно искать «подлинную сущность» вне наблюдения и испытания. На другом полюсе явно располагаются некоторые современные нумерологи, которые полагают, что познание природы навсегда сокрыто за пределами человеческих возможностей. Все, что мы воображаем, будто мы знаем о природе, – лишь то, что сами мы и придумали о природе.