Магия чисел. Ментальные вычисления в уме и другие математические фокусы
Шрифт:
Аналогично, так как 1000 делится на 8, для проверки кратности 8 достаточно выяснить, делятся ли на 8 последние три цифры числа. Например, для 14 918 надо проверить число 918 на делимость на 8. Однако при делении 918 на 8 имеем остаток (918 : 8 = 114 6/8), из чего делаем вывод, что число 14 918 на 8 не делится. Можно также заметить, что 18 (две последние цифры числа 14 918) не делится на 4, а так как 14 918 не делится на 4, оно не может делиться и на 8.
Когда дело доходит до делимости на 3, предлагаю запомнить одно простое правило: число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма составляющих его цифр делится на 3 (независимо от того, сколько цифр в числе). Чтобы выяснить, делится ли 57 852 на 3, просто сложите 5 + 7 + 8 + 5 + 2 = 27.
Число делится на 6 только в том случае, если оно четное и делится на 3. Так что кратность 6 легко проверить.
Установить, делится ли число на 5, еще проще. Любое число, независимо от величины, кратно 5 тогда и только тогда, когда оно заканчивается на 5 или 0.
Выяснить делимость на 11 почти так же просто, как на 3 или на 9. Число делится на 11 тогда и только тогда, когда в результате попеременного вычитания и сложения составляющих его цифр вы получите либо 0, либо кратное 11.
Например, 73 958 не делится на 11, потому что 7–3 + 9–5 + 8 = 16. Однако числа 8 492 и 73 194 кратны 11, так как 8–4 + 9–2 = 11 и 7–3 + 1–9 + 4 = 0. Это правило работает потому, что числа 1, 100, 10 000, 1 000 000 на единицу больше кратного 11, в то время как числа 10, 1000, 100 000 и т. д. на единицу меньше величины, кратной 11.
Проверка делимости на 7 несколько сложнее. Если вы прибавите (или вычтите) число, кратное 7, к проверяемому (или из проверяемого) и полученный результат будет делиться на 7, ответ положительный. Я всегда выбираю такое прибавляемое или вычитаемое кратное 7, чтобы в итоге сумма или разность заканчивалась на 0. Например, для проверки числа 5292 я вычитаю 42 (кратное 7), чтобы получить 5250.
Далее избавляюсь от 0 на конце (так как деление на десять не влияет на проверку делимости на семь), получая в итоге 525. Затем повторяю процесс, прибавляя 35 (кратное 7), что дает мне 560. Когда я удалю 0, то останусь с числом 56, которое, как мне известно, кратно 7. Таким образом, исходное число 5292 делится на 7.
Этот метод работает не только для 7, но и для любого нечетного числа, кроме оканчивающегося на 5. Например, чтобы проверить, делится ли 8792 на 13, вычитаем 4 х 13 = 52 из 8792 и получаем 8740. Опуская 0, имеем 874. Затем прибавляем 2 х 13 = 26, выходит 900. Удаление двух нулей оставляет нас с числом 9, которое, очевидно, не кратно 13. Таким образом, 8792 не делится на 13.
УПРАЖНЕНИЕ: ПРОВЕРКА НА ДЕЛИМОСТЬ
В этом упражнении будьте особенно внимательны при проверке делимости на 7 и 17. Остальное не должно представлять для вас трудностей.
Делимость на 2
1. 53 428 2. 293 3. 7241 4. 9846
Делимость на 4
5. 3932 6. 67 348 7. 358 8. 57 929
Делимость на 8
9. 59 366 10. 73 488 11. 248 12. 6111
Делимость на 3
13. 83 671 14. 94 737 15. 7359 16. 3 267 486
Делимость на 6
17. 5334 18. 67 386 19. 248 20. 5991
Делимость на 9
21. 1234 22. 8469 23. 4 425 575 24. 314 159 265
Делимость на 5
25. 47 830 26. 43 762 27. 56 785 28. 37 210
Делимость на 11
29. 53 867 30. 4969 31. 3828 32. 941 369
Делимость на 7
33. 5784 34. 7336 35. 875 36. 1183
Делимость на 17
37. 694 38. 629 39. 8273 40. 13 855
Если вы в состоянии управиться с целыми числами, то арифметические действия с дробями покажутся вам почти такими же легкими. В этом разделе мы сделаем обзор основных методов сложения, вычитания, умножения, деления и сокращения обыкновенных дробей. Те, кто знаком с дробями, могут спокойно его пропустить.
Умножение обыкновенных дробей
Чтобы перемножить две обыкновенные дроби, нужно просто перемножить их числители (верхние числа), а затем знаменатели (нижние числа). Например:
2/3 х 4/5 = 8/15
1/2 х 5/9 = 5/18
Что может быть проще! Попробуйте следующие упражнения, прежде чем двигаться дальше.
УПРАЖНЕНИЕ: УМНОЖЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДРОБЕЙ
1. 3/5 х 2/7
2. 4/9 х 11/7
3. 6/7 х 3/4
4. 9/10 х 7/8
Деление обыкновенных дробей
Деление дробей столь же легкое, как и умножение. Однако оно требует одного дополнительного действия. Сначала переверните вторую дробь с ног на голову (это называется обратная дробь), а затем умножайте. Например, обратная дробь для 4/5 будет 5/4. Следовательно,
2/3 : 4/5 = 2/3 х 5/4 = 10/12
1/2 : 5/9 = 1/2 х 9/5 = 9/10
УПРАЖНЕНИЕ: ДЕЛЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДРОБЕЙ
Теперь ваша очередь. Поделите эти дроби.
1. 2/5 : 1/2
2. 1/3 : 6/5
3. 2/5 : 3/5
Сокращение обыкновенных дробей
Дроби можно рассматривать как маленькие задачки на деление. Например, 6/3 то же самое, что и 6 : 3 = 2. Дробь 1/4 то же самое, что и 1 : 4 (или 0,25 в десятичной форме). Известно, что если умножить любое число на 1, то это число не изменится.
Например, 3/5 = 3/5 х 1. Но если заменить 1 дробью 2/2, то получим 3/5 = 3/5 х 1 = 3/5 х 2/2 = 6/10. Следовательно, 3/5 = 6/10.
По такому же принципу, заменив 1 дробью 3/3, получим 3/5 = 3/5 х 3/3 = 9/15. Другими словами, если мы умножаем числитель и знаменатель на одно и то же число, то получаем дробь, равную исходной.
Вот еще пример:
2/3 = 2/3 х 5/5 = 10/15
Верно и то, что, деля числитель и знаменатель на одинаковое число, мы получаем дробь, равную исходной.
Например:
4/6 = 4/6 : 2/2 = 2/3
25/35 = 25/35 : 5/5 = 5/7
Это сокращение дроби.
УПРАЖНЕНИЕ: СОКРАЩЕНИЕ ДРОБЕЙ
Найдите дробь со знаменателем 12, равную дробям, представленным ниже.
1. 1/3 2. 5/6 3. 3/4 4. 5/2
Сокращение дробей.
5. 8/10 6. 6/15 7. 24/36 8. 20/36