Магия чисел. Ментальные вычисления в уме и другие математические фокусы
Шрифт:
Сложение дробей
Это действие можно считать простым, когда знаменатели равны. В этом случае складываются числители и сохраняется прежний знаменатель.
Например:
3/5 + 1/5 = 4/5; 4/7 + 2/7 = 6/7
Иногда можно упростить ответ. Например:
1/8 + 5/8 = 6/8 = 3/4
УПРАЖНЕНИЕ: СЛОЖЕНИЕ ДРОБЕЙ (С РАВНЫМИ ЗНАМЕНАТЕЛЯМИ)
1. 2/9 + 5/9
2. 5/12 + 4/12
3. 5/18 + 6/18
4. 3/10 + 3/10
Более коварный случай — различные знаменатели. Когда знаменатели не равны, нужно заменить исходные дроби дробями с равными знаменателями.
Например, сложите
1/3 + 2/15
Заметим,
1/3 = 5/15
Поэтому
1/3 + 2/15 = 5/15 + 2/15 = 7/15
При сложении
1/2 + 7/8
Замечаем, что
1/2 = 4/8
Тогда
1/2 + 7/8 = 4/8 + 7/8 =11/8
При сложении
1/3 + 2/5
Видим, что
1/3 = 5/15 и 2/5 = 6/15
В итоге
1/3 + 2/5 = 5/15 + 6/15 = 11/15
УПРАЖНЕНИЕ: СЛОЖЕНИЕ ДРОБЕЙ (С НЕРАВНЫМИ ЗНАМЕНАТЕЛЯМИ)
1. 1/5 + 1/10 2. 1/6 + 5/18 3. 1/3 + 1/5
4. 2/7 + 5/21 5. 2/3 + 3/4 6. 3/7 + 3/5 7. 2/11 + 5/9
Вычитание дробей
Вычитание дробей похоже на их сложение. Мы покажем это действие на примерах и обеспечим вас тренировочными упражнениями.
2/5 — 2/5 = 1/5; 4/7 — 2/7 = 2/7; 5/8 — 1/8 = 4/8 = 1/2
1/3 /2/15 = 5/15 — 2/15 = 3/15 = 1/5
7/8 — 1/2 = 7/8 — 4/8 = 3/8
1/2 — 7/8 = 4/8 — 7/8 = -3/8; 2/7 — 1/4 = 8/28 — 7/28 = 1/28
2/3 — 5/8 = 16/24 — 15/24 = 1/24
УПРАЖНЕНИЕ: ВЫЧИТАНИЕ ДРОБЕЙ
1. 8/11 — 3/11 2. 12/7 — 8/7 3. 13/18 — 5/18
4. 4/5 — 1/15 5. 9/10 — 3/5 6. 3/4 — 2/3
7. 7/8 — 1/16 8. 4/7 — 2/5 9. 8/9 — 1/2
Глава 5
Искусство приближенной оценки
До сих пор вы совершенствовали ментальные техники, необходимые для получения точных ответов в математических задачах. Однако часто бывает достаточно приблизительной оценки решения. Скажем, вы получаете расценки различных кредиторов рефинансирования кредита за ваш дом. Все, что вам действительно понадобится на данном этапе сбора информации, — это приблизительно оценить размер ежемесячного платежа. Или, скажем, вы оплачиваете счет в ресторане вместе с компанией друзей и не хотите вычислять в нем долю каждого до последней копейки. Методы приближенной оценки, описанные в данной главе, сделают обе эти задачи (и многие другие аналогичные) вполне решаемыми. Сложение, вычитание, деление и умножение — все поддается приближенной оценке. Как обычно, мы будем выполнять расчеты слева направо.
Приближенная оценка — хороший способ облегчить себе жизнь, когда при решении задачи список чисел для запоминания становится слишком длинным. Трюк сводится к округлению исходных чисел в б'oльшую или меньшую сторону.
* * *
Джордж Биддер: инженер «калькулятор»
У англичан тоже была своя когорта мастеров молниеносных вычислений. Например, устные выступления Джорджа Биддера (1806–1878), уроженца Девоншира, производили на зрителей неизгладимое впечатление. Как и большинство математических талантов, Биддер увлекся арифметическими задачами, еще будучи мальчишкой, и учился счету, сложению, вычитанию, умножению и делению в процессе игры с мраморными шариками. На гастроли со своим отцом юный Биддер отправился в возрасте девяти лет.
Почти ни один из задаваемых вопросов не был для него сложным. «Если Луна находится на расстоянии 123 256 миль от Земли, а звук
На волне славы Джордж Биддер поступил в университет Эдинбурга и впоследствии стал одним из наиболее уважаемых инженеров в Англии. В парламентских дебатах по поводу железнодорожных конфликтов Биддер часто выступал в качестве свидетеля, от чего его оппонентов бросало в дрожь. Кто-то сказал: «Природа наделила его определенными качествами, которые лишали его соперников справедливого положения».
В отличие от Колберна, покинувшего семейство молниеносных вычислителей в возрасте двадцати лет, Биддер сохранял свой статус на протяжении всей жизни. Так, в 1878 году, незадолго до смерти, Биддер рассчитал число световых волн, попадающих в глаз за одну секунду, основываясь на том, что существует 36 918 волн красного света на дюйм и что свет передвигается со скорость примерно 190 тысяч миль в секунду.
* * *
Обратите внимание: мы округлили первое число в б'oльшую сторону до ближайшей тысячи, а второе — в меньшую, тоже до ближайшей тысячи. Так как точный ответ равен 14 186, погрешность относительно мала.
Если хотите получить более точный ответ, вместо того чтобы округлять в сторону ближайшей тысячи, округляйте в сторону ближайшей сотни.
Ответ лишь на 14 единиц отличается от точного ответа: относительная погрешность меньше чем 0,1 %. Вот это я называю отличной приближенной оценкой!
Попробуйте задачу на сложение пятизначных чисел, округляя их до ближайшей сотни.
Благодаря округлению до ближайшей сотни погрешность нашего ответа всегда будет меньше 100. Если ответ больше 10 000, приближенная оценка будет в пределах 1 % от точного ответа.
Теперь попробуем что-нибудь посложнее.
Если вы округлите до ближайшего миллиона, то получите ответ в 31 миллион, что примерно на 285 000 меньше истинного значения. Неплохо, конечно, но вы можете улучшить ответ, округляя до ближайших ста тысяч, как показано в последнем столбце. В этом случае приближенная оценка снова будет в пределах находиться 1 % от точного ответа. Если вы научитесь находить точные ответы для таких задач с меньшими числами, то сможете приблизительно оценить ответ в любой задаче.
Приближенная оценка в супермаркете
Рассмотрим пример из реальной жизни. Придя в магазин, вы когда-нибудь интересовались общей суммой покупки до того, как кассир пробил чек? Для оценки общей суммы я использую технику округления цен до ближайших 50 центов. Например, пока кассир складывает числа, показанные слева, я мысленно суммирую числа, показанные справа.
1,39 1,50
0,87 1,00
2,46 2,50
0,61 0,50
3,29 3,50
2,99 3,00
0,20 0,00
1,17 1,00
0,65 0,50
2,93 3,00
3,19 3,00
____________
19,75 19,50
Моя итоговая цена, как правило, колеблется в пределах одного доллара от точного значения.