Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании

Дьяконов Владимир Павлович

Прямое преобразование Лапласа заключается в переводе некоторой функции времени f(t) в операторную форму F(p). Это преобразование означает вычисление интеграла

Для осуществления прямого преобразования Лапласа служит функция

laplace(expr,t,р)

Здесь expr — преобразуемое выражение, t — переменная, относительно которой записано expr, и p — переменная, относительно которой записывается результат преобразования.

Обратное преобразование Лапласа означает переход от функции F(p) к функции f(t) с помощью формулы

Для

вычисления этого интеграла служит функция

invlaplace(expr, р, t)

где expr — выражение относительно переменной p, t — переменная, относительно которой записывается результирующая зависимость. Оба преобразования широко применяются в практике научно-технических вычислений и отражают суть операторного метода. При этом прямое преобразование создает изображение, а обратное — оригинал функции. Ниже приведены примеры определения и применения прямого и обратного преобразований Лапласа:

> restart:with(inttrans):

> convert(laplace(f(t),t,s), int);

> laplace(sin(t)+a*cos(t),t,p);

> invlaplace(%,р,t);

sin(t) + a cos(t)

Нетрудно заметить, что в данном случае последовательное применение прямого, а затем обратного преобразования восстанавливает исходную функцию sin(t)+a cos(t). Преобразования Лапласа широко используются со специальными функциями и, в свою очередь, порождают специальные функции:

> laplace(FresnelC(t),t,p);

> laplace(Si(t)+Ci(t)+erf(t),t,p);

> laplace(BesselJ(0,t),t,p);

> invlaplace(1/sqr(р^2+1),t,р);

Преобразования Лапласа широко используются для решения линейных дифференциальных уравнений в аналитическом виде. Ниже дана пара простых примеров, иллюстрирующих технику такого решения для дифференциальных уравнений второго порядка с применением функции dsolve:

> de1 := diff(y(t),t$2) + 2*diff(y(t),t) + 3*y(t) = 0;

> dsolve({del,y(0)=0,D(y)(0)=1},y(t),method=laplace);

> de2 := diff(y(х),х$2) - y(х) = x*cos(x);

> dsolve({de2,y(0)=0,D(y)(0)=0},y(x), method=laplace);

Множество примеров на применение преобразования Лапласа можно найти в файле laplace.mws, имеющимся на Интернет-сайте корпорации MapleSoft.

5.11.7. Интегральное преобразование Ханкеля

Интегральное преобразование Ханкеля задается следующим выражением:

и выполняется функцией

hankel(expr, t, s, nu)

Здесь expr — выражение, равенство (или множество, или список с выражениями/равенствами), t — переменная в expr, преобразуемая в параметр преобразования s, nu — порядок преобразования. Следующий пример демонстрирует вывод и применения функции Ханкеля:

> convert(hankel(f(t), t, s, v), int);

> hankel(sqrt(t)/(alpha+t), t, s, 0);

> hankel(sqrt(t)*Ci(alpha*t^2),t,s,0);

> hankel(1/sqrt(t)*erfс(alpha*t),t,s,0);

> assume(-1/2<mu,mu<1/2);

hankel(1/sqrt(t)*BesselY(mu,alpha/t),t,s,mu);

> hankel(t^(1/3), t, s, 2);

5.11.8. Прямое и обратное преобразования Гильберта

Прямое преобразование Гильберта задается следующим выражением:

и превращает функцию f(t) в F(s). Обратное преобразование Гильберта означает нахождение f(t) по заданной F(s). Эти преобразования выполняются функциями:

hilbert(expr, t, s)

invhilbert(expr, t, s)

где назначение параметров очевидно. Приведенные ниже примеры иллюстрируют выполнение этих преобразований:

> restart:with(inttrans):

> assume(-1/2<v,v<3/2,nu>0,a>0,alpha>0,beta>0):

> convert(hilbert(f(t),t,s), int);

> convert(invhilbert(f(t),t,s),int);

> hilbert(exp(1), r, z);

0

> hilbert(f(u), u, t);

hilbert(f(w), u, t)

> hilbert(%, t, s);

– f(s)

> hilbert(t*f(t), t, s);

> hilbert(t/(t^2+1),t,s);

> invhilbert(%,s,t);

> hilbert(sin(x)/x,x,y);

> hilbert(%,y,2);