Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании

Дьяконов Владимир Павлович

[D(l)(x)sin(x) + l(x)cos(x) = l(x)sin(x), (D⁽²⁾)(k)(x) = k(x)²

> Dchangevar(c=d, е=sin(f) , {D(с), (D@@2)(e)}, dummy);

[D(d), (D⁽²⁾)(sin(f))]

# Преобразование 2-го типа

> Dchangevar(t=arctan(tau), diff(x(t), t) = sin(t), t, tau);

D(x)(arctan(x)) = sin(arctan(f))]

> Dchangevar(x=sin(cos(t)),diff(y(x),x,x,x), x, t);

(D⁽³⁾)(y)(sin(cos(t)))

#

Преобразование 3-го типа

> Dchangevar(x(t)=L*y(phi),diff(x(t),t$3) = tan(t),t,phi);

# Дополнительные примеры

> Dchangevar({t=T*phi,x(t)=L*y(phi)},diff(x(t)), t$3)=tan(t),t,phi);

> de := diff(y(x),x$2) = y(x)*diff(y(x),x)/x;

> Dchangevar({x=exp(t), y(x)=Y(t)},de,x,t);

Следует отметить, что подстановки являются мощным средством решения дифференциальных уравнений. Нередки случаи, когда дифференциальное уравнение не решается без их применения.

Функция нормализации ОДУ DEnormal синтаксически записывается в виде

DEnormal(des, ivar, dvar)

где des — система дифференциальных уравнений, ivar — независимая переменная и dvar — зависимая переменная. Применение этой функции поясняют следующие примеры:

> DE := х^3*у(х)+х^2*(х-1)*D(y)(х)+50*х^3*(D@@2)(y)(x)=x*sin(x);

DE := x³у(х) + x²(x-1)D(y)(x) + 50 x³(D⁽²⁾)(y)(x) = x sin(x)

> DE2 := convertAlg(DE,y(x));

DE2 := [[x³, x³ - x², 50x³], x sin(x)]

> DEnormal(DE,x,y(x));

> DEnormal(DE2,х);

Функция convertAlg(des,dvar) возвращает список коэффициентов формы системы дифференциальных уравнений des с зависимыми переменными dvar. Это поясняют следующие примеры:

> А : = diff(y(х),х)*sin(х) - diff(y(х),х) - tan(х)*y(х) = 5;

> convertAlg(А,y(х));

[[-tan(x), sin(x) - 1], 5]

> В := (D@@2)(y)(х)*cos(x) + (D@@2)(y)(х)*5*х^2;

В := (D⁽²⁾)(y)(x)cos(x) + 5(D⁽²⁾)(y)(x)x²

> convertAlg(В,y(x));

[[0, 0, cos(x) + 5 x²], 0]

Для изменения переменных в системах дифференциальных уравнений используется функция convertsys:

convertsys(deqns, inits, vars, ivar, yvec, ypvec)

Здесь deqns — одно дифференциальное уравнение или список (множество), представляющие систему дифференциальных уравнений первого порядка, inits — множество или список начальных условий, vars — зависимые переменные, ivar — независимые переменные, yvec — вектор решений и ypvec — вектор производных.

indicialeq(des,ivar,alpha,dvar)

обеспечивает полиномиальное представление для линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка des. Параметр alpha намечает точку сингулярности.

> Y : =

 (2*х^2+5*х^3)*diff(y(х),х,х)+(5*х-х^2)*diff(y(х),х)+(1+х)*y(х)=0:

> Y := convertAlg(Y, y(х));

Y := [[1 + х, 5х - х², 2х² + 5х³], 0]

> indicialeq(Y, х, -2/5, y(х));

> indicialeq(Y, x, 0, y(x));

> indicialeq(Y, х, 1, y(х));

x² - x = 0

Функция

reduceOrder(des,dvar,partsol, solutionForm)

обеспечивает понижение порядка дифференциального уравнения des (или системы уравнений, представленных списком или множеством) при зависимых переменных dvar, частном решении partsol (или списке частных решений) и флаге solutionForm, показывающем, что решение происходит явным методом (explicitly).

Для демонстрации действия этой функции воспользуемся примером из ее справочной страницы:

> de := diff(Y(х),х$3) - 6*diff(y(х),х$2) + 11*diff(y(х),х) - 6*y(х);

> sol:=exp(x);

sol := е^x

> reduceOrder(de, y(х), sol);

> reduceOrder(de, y(x), sol, basis);

Функция

regularsp(des,ivar,dvar)

вычисляет регулярные особые (сингулярные) точки для дифференциального уравнения второго порядка или системы дифференциальных уравнений des. Следующий пример поясняет применение данной функции:

> coefs := [21*(х^2-х+1), 0, 100*х^2*(х-1)^2]:

> regularsp(coefs, х);

[0, 1]

Еще две функции пакета DEtools

translate(des,ivar,pt,dvar)

untranslate(des,ivar,pt,dvar)

выполняют особую операцию трансляции дифференциального уравнения (или списка дифференциальных уравнений) из центрированного относительно 0 в центрированное относительно 1 и наоборот. С деталями этого специфического процесса заинтересованный читатель может познакомиться в справочной базе данных. И еще одна полезная функция пакета