Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании

Дьяконов Владимир Павлович

> de:=m*diff(y(x),x$2)-k*diff(y(x),x);

> yx0:=y(0)=0,y(1)=1;

ух0:= у(0) = 0, у(1) = 1

> dsolve({de,yx0},y(x));

Ряд примеров на применение дифференциальных уравнений второго порядка при решении практических математических и физических

задач вы найдете в главе 11.

7.2.5. Решение систем дифференциальных уравнений

Функция dsolve позволяет также решать системы дифференциальных уравнений. Для этого она записывается в виде

dsolve(ODE_sys, optional_1, optional_2,...)

Здесь ODE_sys — список дифференциальных уравнений, образующих систему, остальные параметры опциональные и задаются по мере необходимости. Они могут задавать начальные условия, явно представлять искомые зависимости, выбирать метод решения и т.д. Детали задания опциональных параметров можно найти в справке.

На рис. 7.7 представлено решение системы из двух дифференциальных уравнений различными методами — в явном виде, в виде разложения в ряд и с использованием преобразования Лапласа. Здесь следует отметить, что решение в виде ряда является приближенным. Поэтому полученные в данном случае аналитические выражения отличаются от явного решения и решения с применением преобразования Лапласа.

Рис. 7.7. Решение системы из двух дифференциальных уравнений различными методами

Следует отметить, что, несмотря на обширные возможности Maple в области аналитического решения дифференциальных уравнений, оно возможно далеко не всегда. Поэтому, если не удается получить такое решение, полезно попытаться найти решение в численном виде. Практически полезные примеры решения дифференциальных уравнений, в том числе с постоянными граничными условиями, вы найдете в Главе 11.

7.2.6. Модель Стритера-Фелпса для динамики кислорода в воде

В качестве еще одного примера решении системы из двух дифференциальных уравнений рассмотрим модель Стритера-Фелпса, предложенную для описания динамики содержания растворенного в воде кислорода. Описание этой модели можно найти в [41]. Ниже представлено задание этой модели в виде системы из двух дифференциальных уравнений и их аналитическое решение (файл demp):

> sys := diff(x1(t),t) = K1*(C-x1(t))-K2*x2(t), diff(x2(t),t) = -K2*x2(t);

> dsol := dsolve({sys,x1(0) =a, x2(0)=b),{x1(t),x2(t)});

Здесь: x1(t) — концентрация в воде растворенного кислорода в момент времени t; x2(t) — концентрация биохимического потребления кислорода (БПК), С — концентрация насыщения воды кислородом, K1 — постоянная скорости аэрации, K2 — постоянная скорости уменьшения (БПК), a — начальное значение x1(t) и b — начальное значение х2(t) при t=0.

В данном случае получены два варианта аналитического решения — основное и упрощенное с помощью функции simplify. Читатель может самостоятельно построить графики зависимостей x1(t) и x2(t).

7.3. Специальные средства решения дифференциальных уравнений

7.3.1. Численное решение дифференциальных уравнений

К сожалению, аналитического решения в общем случае нелинейные дифференциальные уравнения не имеют. Поэтому их приходится решать численными методами. Они удобны и в том случае, когда решение надо представить числами или, к примеру, построить график решения. Поясним принципы численного решения.

Для этого вернемся к дифференциальному уравнению (7.1). Заменим приращение dx на малое, но конечное приращение dx=h. Тогда приращение dy будет равно

Δy=h ∙ f(x, у).

Если, к примеру, известно начальное значение у=у₀, то новое значение у будет равно

y₁ = y₀ + Δy = y₀ + h∙f(x, y)

Распространяя этот подход на последующие шаги решения получим конечно-разностную формулу для решение приведенного уравнения в виде:

y_i+1 = y_i + h∙f(x_i, y_i).

Эта формула известна как формула простого метода Эйлера первого порядка для решения дифференциального уравнения (7.1). Можно предположить (так оно и есть), что столь простой подход дает большую ошибку — отбрасываемый член порядка O(h²). Тем не менее, физическая и математическая прозрачность данного метода привела к тому, что он широко применяется на практике.

Существует множество более совершенных методов решения дифференциальных уравнений, например, усовершенствованный метод Эйлера, метод трапеций, метод Рунге-Кутта, метод Рунге-Кутта-Фельберга и др. Ряд таких методов реализован в системе Maple и может использоваться при численном решении дифференциальных уравнений и систем с ними.

Для решения дифференциальных уравнений в численном виде в Maple используется та же функция dsolve с параметром numeric или type=numeric. При этом решение возвращается в виде специальной процедуры, по умолчанию реализующей широко известный метод решения дифференциальных уравнений Рунге-Кутта-Фельберга порядков 4 и 5 (в зависимости от условий адаптации решения к скорости его изменения). Эта процедура называется rkf45 и символически выводится (без тела) при попытке решения заданной системы дифференциальных уравнений. Последнее достаточно наглядно иллюстрирует рис. 7.8.

Рис. 7.8. Решение системы дифференциальных уравнений численным методом rkf45 с выводом графика решения

Указанная процедура возвращает особый тип данных, позволяющих найти решение в любой точке или построить график решения (или решений). Для графического отображения Maple 9.5 предлагает ряд возможностей и одна из них представлена на рис. 7.8 — см. последнюю строку ввода. При этом используется функция plot[odeplot] из пакета odeplot, предназначенного для визуализации решений дифференциальных уравнений. Можно воспользоваться и функцией plot, выделив тем или иным способом (примеры уже приводились) нужное решение.