Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании

Дьяконов Владимир Павлович

Разумеется, приведенные примеры далеко не исчерпывают всех задач, которые можно решать с применением графов. Но они наглядно демонстрируют, что для большинства пользователей пакет networks превращает графы из окутанного ореолом таинственности модного средства в простой рабочий инструмент.

9.4. Математические пакеты расширения специального назначения

9.4.1. Инструментальный пакет для линейных рекуррентных

уравнений — LREtools

Этот

пакет полезен математикам, часто использующим рекуррентные отношения и формулы. Он дополняет функцию rsolve основной библиотеки и содержит следующие функции:

> with(LREtools);

[REcontent, REcreate, REplot, REpritnpart, REreduceorder, REtoDE, REtodelta, REtopeoc, autodispersion, constcoeffsol, dispersion, divconq, firstlin, hypergeomsols, polysols, ratpolysols, riccati, shift]

9.4.2. Пакет функций дифференциальных форм difforms

В пакете дифференциальных форм содержится следующий ряд функций:

> with(difforms);

[&^, d, defform, formpart, parity, scalarpart, simpform, wdegree]

Демонстрационные материалы по применению этого пакета входят в поставку Maple, так что заинтересованный читатель может их просмотреть.

9.4.3. Пакет работы с тензорами tensor

Этот пакет впервые появился в реализации Maple V R5. Он дает средства для работы с тензорами и вычислениями, используемыми в общей теории относительности. В нем использован специальный тип данных tensor_type в виде таблиц с двумя полями: компонентов и характеристик индексов. Поле компонентов — массив с размерностью, эквивалентной рангу объекта. Поле характеристик индексов задается списком чисел 1 и -1. При этом 1 на i-й позиции означает, что соответствующий индекс контравариантный, а -1 — что он ковариантный.

Процедура tensor_type возвращает логическое значение true, если ее первый аргумент удовлетворяет свойствам тензора, и false, если он этому свойству не удовлетворяет.

Каждому тензору соответствуют еще две таблицы. Таблица коэффициентов вращения задает коэффициенты вращения Ньюмена-Пенроуза, которые вычисляются функцией tensor[npspin] и индексируются именами греческих букв alpha, beta, gamma, epsilon и т.д. Другая таблица (компонент кривизны) содержит компоненты кривизны Ньюмена-Пенроуза. Они представлены тремя полями: полем Phi в виде массива размерности (0..2,0..2) с компонентами Риччи, поле Psi с массивом размерности (0..4) с компонентами Вейля и поле R со скаляром Риччи.

Объявление

> with(tensor);

дает доступ к множеству функций пакета:

Christoffel1 — вычисление символов Кристоффеля первого рода;

Christoffel2 — вычисление символов Кристоффеля второго рода;

Einstein — возвращает тензор Эйнштейна;

display_alJGR — описывает ненулевые компоненты всех тензоров и параметров, вычисленных командой tensorsGR (общая теория относительности);

displayGR — описывает ненулевые компоненты конкретного тензора (общая теория относительности);

Jacobian — Якобиан преобразования координат;

Killing_eqns — вычисляет компоненты для уравнений Киллинга (имеет отношение к симметриям пространства);

LeviCivita — вычисляет ковариантные и контравариантные псевдотензоры Леви-Чивита;

Lie_diff — вычисляет производную Ли тензора по отношению к контравариантному векторному полю;

Ricci — тензор Риччи;

Ricciscalar — скаляр Риччи;

Riemann — тензор Римана;

RiemannF — тензор кривизны Римана в жесткой системе отсчета;

tensorsGR — вычисляет тензор кривизны в данной системе координат (общая теория относительности);

Weyl — тензор Вейля;

act — применяет операции к элементам тензора, таблицам вращений или кривизны;

antisymmetrize — антисимметризация тензора по любым индексам;

change_basis — преобразование системы координат;

commutator — коммутатор двух контравариантных векторных полей;

compare — сравнивает два тензора, таблицы вращений или кривизны;

conj — комплексное сопряжение;

connexF — вычисляет связующие коэффициенты для жесткой системы координат;

contact — свертка тензора по парам индексов;

convertNP — преобразует связующие коэффициенты или тензор Римана к формализму Ньюмена-Пенроуза;

cov_diff — ковариантное дифференцирование;

create — создает тензорный объект;

d1metric — первая частная производная метрики;

d2metric — вторая частная производная метрики;

directional_diff — производная по направлению,

dual — осуществляет дуальную операцию над индексами тензора;

entermetric — обеспечивает ввод пользователем координатных переменных и ковариантных компонент метрического тензора;

exterior_diff — внешнее дифференцирование полностью антисимметричного ковариантного тензора;

exterior_prod — внешнее произведение двух ковариантных антисимметричных тензоров;

frame — задает систему координат, которая приводит метрические компоненты к диагональной сигнатурной матрице (с положительными или отрицательными единицами);

geodesic_eqns — уравнение Эйлера-Лагранжа для геодезических кривых;

get_char — возвращает признак (ковариантный/контравариантный) объекта;

getcompts — возвращает компоненты объекта;

get_rank — возвращает ранг объекта;

invars — инварианты тензора кривизны Римана (общая теория относительности);

invert — обращение тензора второго ранга;

lincom — линейная комбинация тензорных объектов;

lower — опускает индексы;

npcurve — компонента кривизны Ньюмена-Пенроуза в формализме Дебевера (общая теория относительности);