Математические головоломки и развлечения
Шрифт:
Это нетрудно понять, если воспользоваться вращающимися квадратами. Начнем с двух небольших квадратов любых размеров, например с квадратов А и В на рис. 130.
Рис. 130 Квадраты, показывающие, что отношение последующего члена любого аддитивного ряда к предыдущему стремится к числу φ.
Сторона квадрата С равна сумме сторон квадратов А и В; сторона квадрата D равна сумме сторон квадратов В и С; сторона квадрата Е — сумме сторон
Тесную связь между числом φ и числами Фибоначчи наглядно демонстрирует классический геометрический парадокс. Если на бумаге в клеточку начертить квадрат 8 х 8 и разрезать его на 4 части так, как показано на рис. 131, то из этих частей можно составить прямоугольник, площадь которого равна 65 единичным клеткам, а не 64, как у исходного квадрата.
Рис. 131 Парадокс, основанный на свойствах произвольного аддитивного ряда.
Парадокс объясняется просто: части квадрата неплотно примыкают друг к другу вдоль диагонали и между ними остается узкий зазор. Его площадь равна «лишней» клетке. Заметим, что длины сторон трапеций и треугольников, на которые разрезали квадрат, выражаются числами Фибоначчи. На самом деле парадокс будет возникать и в том случае, если квадрат разрезан на трапеции и треугольники, длины которых выражаются членами любого аддитивного ряда, хотя при этом в одних случаях построенный из частей квадрата прямоугольник будет иметь бблыную, а в других — меньшую площадь по сравнению с квадратом в зависимости от того, как примыкают части вдоль диагонали: есть ли между ними зазор или они перекрываются. Это обстоятельство связано с тем, что отношение последующего члена аддитивного ряда к предыдущему то превосходит φ, то становится меньше этого числа.
Площадь прямоугольника, составленного из частей разрезанного квадрата, в точности совпадает с площадью квадрата лишь в одном случае: если длины сторон трапеций и треугольников взяты из членов аддитивного ряда 1, φ, φ+1, 2φ+1, 3φ + 2… (другой — «мультипликативный» — способ записи того же ряда выглядит так: 1, φ, φ2, φ3, φ4….). Это единственный аддитивный ряд, в котором отношение любых двух последовательных членов постоянно (и, конечно, равно φ). Это тот самый «золотой» ряд, которым тщетно стремятся стать все аддитивные ряды.
Обширная литература, посвященная числу φ и связанным с ним вопросам, не менее эксцентрична, чем литература о квадратуре круга, так или иначе затрагивающая свойства другого иррационального числа — π. [Добавим несколько замечаний, взятых из книги Н. von Baravalle «Geometrie als Sprache der Formen».
Связь φ с числом Фибоначчи иллюстрируется лучше всего таким образом. Если взять разложение 1/φ в цепную дробь
и построить «подходящие дроби», откидывая «хвосты», то можно получить ряд чисел:
Продолжая в том же духе, получим ряд подходящих дробей:
В этом ряду каждый знаменатель становится числителем у следующей дроби. Числители и знаменатели образуют ряд Фибоначчи:
Так как приближение к 1/φ можно начинать с любых двух чисел, то читатель сразу увидит разгадку следующего фокуса.
Попросите двух человек написать на длинной бумажке два любых числа одно под другим, а третьего — подсчитать и записать их сумму. Перегните бумажку, оставив видными только два последних числа, и опять попросите написать их сумму; опять перегните бумажку и повторите просьбу сложить два числа. Повторив эту операцию раз 10–15, попросите разделить предпоследнее число на последнее (с точностью, скажем, до трех знаков). Результат вы можете предсказать заранее: он будет 0,618!
Наконец, составим последовательность равенств:
И здесь коэффициенты — члены ряда Фибоначчи!]
Классическим примером может служить объемистый (457 страниц) труд Адольфа Цейзинга «Der goldene Schnitt» («Золотое сечение»), опубликованный в 1881 году. Цейзинг доказывает, что из всех пропорций именно золотое сечение дает наибольший художественный эффект и доставляет наибольшее удовольствие при восприятии. Именно в золотом сечении, по Цейзингу, кроется ключ к пониманию всей морфологии (в том числе строения человеческого тела), искусства, архитектуры и даже музыки. В том же духе выдержаны и книги «Nature's Harmonic Unity» («Гармоническое единство природы») С. Колмена A913) и «The Curves of Life» («Кривые жизни») Т. Кука A914).
Вряд ли будет преувеличением сказать, что экспериментальная эстетика берет свое начало с попыток Густава Фехнера эмпирически обосновать взгляды Цейзинга. Немецкий физиолог измерил отношения сторон у тысяч окон, картинных рам, игральных карт, книг и других прямоугольных предметов, проверил, в каком отношении поперечные перекладины могильных крестов на кладбищах делят вертикальные планки, и обнаружил, что в большинстве случаев полученные им числа мало отличаются от φ. Фехнер разработал целый ряд остроумных тестов, в которых испытуемому предлагалось выбрать «милый его сердцу» прямоугольник из большого набора прямоугольников с различным соотношением сторон, нарисовать самый «приятный» многоугольник, провести поперечную линию и превратить вертикальную палочку в крест, выбрав место пересечения перекладин по своему усмотрению, и т. д. И здесь многократно проведенные опыты показали, что испытуемые отдают предпочтение отношениям, близким к числу φ. Разумеется, основополагающие работы Фехнера были грубы, и более поздние исследования, проводимые в аналогичном направлении, позволяли прийти лишь к более расплывчатому утверждению о том, что большинство людей отдают предпочтение прямоугольнику, занимающему промежуточное положение где-то между квадратом и прямоугольником, у которого основание вдвое больше высоты.
Американец Джей Хэмбридж, скончавшийся в 1924 году, написал много книг, в которых отстаивал понятие «динамической симметрии», понимая под этим применение геометрии (ведущей роли числа φ в искусстве, архитектуре, проектировании мебели и даже типографских шрифтах. В наши дни мало кто принимает его работы всерьез, хотя время от времени какой-нибудь знаменитый художник или архитектор так или иначе использует золотое сечение.
Например, Джордж Беллоуз иногда брал золотое сечение за основу композиции своих картин. Холст, на котором написана «Тайная вечеря» Сальвадора Дали, имеет форму золотого прямоугольника.