Математические головоломки и развлечения

Гарднер Мартин

В 1951 году, за семь лет до того, как игра Гейла была описана мной в Scientific American, профессор Клод Э. Шеннон построил первого робота, который с успехом играл в игру Гейла (сам Шеннон называл ее «Птичья клетка»). Робот играл превосходно, хотя и не совершенно. Основным элементом робота было несложное аналоговое вычислительное устройство на сопротивлениях. В 1958 году два инженера из Иллинойсского технологического института У. А. Дэвидсон и В. Ч. Лэфферти спроектировали другого робота, также игравшего в игру Гейла. Не зная ничего о машине Шеннона, они положили в основу своего проекта тот же принцип, что и Шеннон.

Принцип этот заключается в следующем. Цепь сопротивлений соответствует линиям, которые может провести во время игры один из игроков, например А (рис. 124).

Рис. 124 Электрическая схема робота, умеющего играть в топологическую игру Гейла.

Все сопротивления одинаковы. Когда А во время очередного хода проводит отрезок прямой, соответствующее этому отрезку сопротивление замыкается. Когда игрок В в свою очередь проводит отрезок прямой, он пересекает одну из «линий» А, и соответствующий этой линии участок электрической цепи размыкается. Таким образом, если выигрывает А, то замыкается вся цепь (то есть ее сопротивление падает до нуля), а если выигрывает В, то ток в цепи полностью прекращается (сопротивление становится бесконечным). Машина либо замыкает, либо размыкает то сопротивление, на котором происходит наибольшее падение напряжения. Если же таких сопротивлений оказывается два или больше, то выбор одного из них производится случайным образом.

В действительности Шеннон построил в свое время две машины для игры в «Птичью клетку». В его первой модели роль сопротивлений играли маленькие лампочки, и та лампочка, которая светилась ярче других, показывала, куда нужно делать очередной ход.

Поскольку решить, какая из ламп светится ярче, во многих случаях было довольно затруднительно, Шеннон построил вторую модель, в которой лампочки накаливания были заменены неоновыми лампами, а цепь была рассчитана так, что светиться могла только одна лампа (остальные лампы в это время были заперты). Делая ход, игроки поворачивали выключатели, которые в начале игры находились в нейтральном положении. Один из игроков поворачивал выключатели в положение «включено», другой — в положение «выключено».

Робот Шеннона, делая первый ход, почти всегда выигрывает.

Из нескольких сот сыгранных партий, в которых машине принадлежал первый ход, она проиграла лишь две. Оба проигрыша были обусловлены неполадками в вычислительном устройстве и нарушениями правил игры со стороны человека-игрока. Если же первый ход принадлежал человеку, то ему не составляло труда обыграть машину, но стоило лишь игроку совершить хоть сколько-нибудь значительную ошибку, как машина тут же выигрывала.

Ответы

Задачу с вычерчиванием сети можно решить с 13-ю поворотами.

Начать нужно со второго узла слева в основании большого треугольника. Двигаясь вверх и вправо, дойдем до его боковой стороны, после чего повернем налево, а дойдя до другой стороны, двинемся вправо и вниз к основанию треугольника. Достигнув основания, снова повернем вверх и вправо, а дойдя до боковой стороны треугольника, повернем налево и будем двигаться до тех пор, пока не достигнем другой боковой стороны. Отсюда, повернув направо и вниз, спустимся на основание треугольника, после чего, повернув направо, пройдем основание до правой нижней вершины, откуда по кругу опишем периметр большого треугольника и остановимся в третьем слева узле на его основании. Из этого узла повернем вверх и налево (до узла, расположенного посредине левой боковой стороны большого треугольника), затем, повернув направо, двинемся по горизонтали к среднему узлу на правой боковой стороне, а дойдя до него и повернув влево и вниз, спустимся на основание треугольника.

Головоломка с колечком и веревочкой решается так. Растянем центральную петлю настолько, чтобы через нее можно было протащить кольцо. Продев кольцо через центральную петлю, прижмем его к лицевой стороне картона, а сами, ухватив выходящую из центрального отверстия двойную веревочку, потянем ее на себя. Из отверстия покажется двойная петля. Проденем в нее кольцо и, потянув с обратной стороны за веревочку, снова упрячем двойную петлю за картон (веревочка при этом снова займет исходное положение). После этого нам останется лишь продеть кольцо в центральную петлю, и головоломка решена!

Глава 23. ЧИСЛО φ-ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ

Самым известным из всех иррациональных чисел, то есть чисел, десятичные разложения которых бесконечны и непериодичны, следует считать число π — отношение длины окружности к ее диаметру. Иррациональное число φ («фи») известно не столь широко, но оно выражает фундаментальное отношение, имеющее почти такой же универсальный характер, как и число тг. Сходство между числами π и φ этим не исчерпывается: подобно π, φ обладает свойством возникать в самых неожиданных местах (см., например, решение задачи о круглом пятне в гл. 28).

Геометрический смысл φ ясен из рис. 125. Отрезок прямой разделен на два отрезка А и В, которые, как говорят, образуют «золотое сечение» отрезка А + В: длина всего отрезка (А + В) находится в таком же отношении к длине отрезка А, как и длина отрезка А к длине отрезка В. Отношение каждой пары отрезков и равно числу φ. Если длина отрезка В равна 1, то значение φ нетрудно вычислить из уравнения

которое можно записать в виде обычного квадратного уравнения А² — А — 1 = 0. Положительный корень этого уравнения равен

Это число одновременно выражает длину отрезка А и значение величины φ. Его десятичное разложение имеет вид 1,61803398… Если за единицу принять длину А, то длина В будет выражаться величиной, обратной φ; то есть 1/φ. Любопытно, что 1/φ = 0,61803398.

Рис. 125 Золотое сечение: А относится к В так же, как А + В относится к А.

Число φ — единственное положительное число, которое переходит в обратное ему при вычитании единицы.

Подобно числу π, φ можно представить в виде суммы бесконечного ряда многими способами. Предельная простота следующих двух примеров еще раз подчеркивает фундаментальный характер φ:

Золотое сечение было известно древним грекам. Вряд ли можно сомневаться в том, что некоторые древнегреческие архитекторы и скульпторы сознательно использовали его в своих творениях. Примером может служить хотя бы Парфенон. Именно это обстоятельство и имел в виду американский математик Марк Барр, когда предложил называть отношение двух отрезков, образующих «золотое сечение», числом φ. Буква φ — первая греческая буква в имени великого Фидия, который, по преданию, часто использовал золотое сечение в своих скульптурах. Одной из причин, по которой пифагорейцы избрали пентаграмму, или пятиконечную звезду, символом своего тайного ордена, является то обстоятельство, что любой отрезок в этой фигуре находится в «золотом отношении» к наименьшему соседнему отрезку.