Математические головоломки и развлечения
Шрифт:
Услышав, что на окраине города вновь открылась ярмарка с аттракционами, каруселью и т. п., я решил подъехать туда, чтобы повидаться со своим давним другом Джимом Райли. Мы познакомились с ним в 40-е годы, еще в бытность студентами Чикагского университета. В то время Райли был уже на старшем курсе математического факультета, как вдруг, совершенно неожиданно для всех, он вступил в странствующую труппу, чтобы стать конферансье в танцевальном ревю. В этом амплуа, как говорят актеры, он выступал и в последующие годы. В труппе его называли Профессором.
Каким-то образом ему удалось сохранить в себе живой интерес к математике, и когда бы нам ни доводилось встречаться, я всегда мог почерпнуть у него несколько
На этот раз я разыскал Профессора у входа в паноптикум, где он беседовал с контролером, проверявшим билеты. На нем была стетсоновская шляпа, и выглядел он старше и солиднее, чем при нашей последней встрече.
— Регулярно читаю твой раздел в журнале, — сказал он, когда мы обменялись рукопожатиями. — Почему бы тебе не написать как-нибудь об игре «Закрой пятно»?
— А что это за игра? — спросил я.
— Это один из самых старых наших аттракционов.
Он ухватил меня за руку и потащил за собой по дорожке. Вскоре мы остановились у щита, на котором был нарисован красный круг диаметром в метр. Профессор объяснил мне правила игры. Играющий должен разместить пять металлических дисков (беря каждый раз лишь по одному диску) так, чтобы они закрыли красное пятно. Диаметр каждого диска составлял примерно 61 см. Положив диск, играющий не имеет права передвигать его. Игра считается проигранной, если после того, как положен последний, пятый диск, между металлическими дисками останется хотя бы малейший зазор и можно будет видеть красное пятно.
— Разумеется, — добавил Профессор, — из всех кругов, которые можно полностью закрыть дисками данного диаметра, мы выбрали круг наибольшего радиуса. Большинство людей считает, что диски следует располагать так. — И он разместил диски симметрично.
При таком расположении (рис. 147) край каждого диска проходит через центр красного круга (на нашем рисунке он заштрихован), а центры дисков образуют вершины правильного пятиугольника. Но пять маленьких кусочков у самого края красного круга остаются незакрытыми.
Рис. 147 Неправильное размещение дисков при игре «Закрой пятно».
— К сожалению, — продолжал Профессор, — такое решение неверно. Чтобы закрыть как можно большую часть круга, диски следует расположить вот так. — Он передвинул диски, и они легли так, как показано на рис. 148.
Рис. 148 Правильное размещение дисков при игре «Закрой пятно».
— Центр диска 1, — пояснил Профессор, — лежит на диаметре AD, а край диска проходит через точку С, расположенную немного ниже центра В красного круга. Диски 3 и 4 следует положить так, чтобы их края проходили через точки С и D. Диски 2 и 5 закрывают оставшуюся часть пятна.
Естественно, мне захотелось узнать, чему равно расстояние ВС.
Райли не мог привести на память точные цифры, но указал мне на статью, в которой приводится подробное решение этой трудной задачи. [49] Если радиус пятна равен 1, то расстояние ВС чуть больше 0,285, а наименьший радиус диска будет 0,609… Если же диски расположены так, как показано на рис. 147, то для того, чтобы они полностью закрывали пятно, их радиус должен быть равен 0,6180339… (это число, обратное числу φ — золотому сечению, о котором говорилось в главе 23). Небезынтересно отметить следующую особенность задачи: разность между площадями тех частей красного пятна, которые оказываются закрытыми при первом (см. рис. 147) и втором (см. рис. 148) способах расположения дисков, очень мала и, если диаметр пятна меньше метра, едва различима.
49
Neville E. H. Proceedings of the London Mathematical Society: Second Series, 14.-1915, pp. 308–326.
— Эта игра напоминает мне, — заметил я, — одну замечательную, но до сих пор не разрешенную задачу, также связанную с минимизацией площади. Определим диаметр фигуры, как длину наибольшего отрезка прямой, соединяющего две точки фигуры. Спрашивается, какова форма и площадь наименьшей плоской фигуры, которой можно накрыть любую фигуру единичного диаметра?
Профессор кивнул.
— Наименьший из правильных многоугольников, удовлетворяющих условию задачи, — это правильный шестиугольник со стороной
но около 30 лет назад кому-то удалось улучшить это решение, отрезав у шестиугольника два угла. — Он вытащил из кармана пиджака карандаш, блокнот и тут же набросал чертеж, показанный на рис. 149.
Рис. 149 Шестиугольник с обрезанными углами, которым можно накрыть любую фигуру единичного диаметра.
Углы шестиугольника срезаны по прямым, касательным к вписанной окружности (единичного диаметра) и перпендикулярным к прямым, проведенным из центра окружности в вершины шестиугольника.
— А это решение считается наилучшим из известных? — спросил я.
Райли отрицательно покачал головой.
— Я слышал, что несколько лет назад какой-то математик из Иллинойсского университета показал, как от усеченного шестиугольника можно отрезать еще кусочек, но подробностей не знаю.
Разговаривая, мы не спеша прогуливались по дорожке и остановились перед другим аттракционом. Он состоял из трех огромных игральных костей, которые нужно было скатывать по волнистой наклонной поверхности на расположенную внизу горизонтальную плоскость, и больших белых цифр от 1 до 6, нарисованных на специальном щите. Играющий может поставить любую сумму денег на любую из цифр. Затем он бросает кости. Если названное им число выпадает на одной из костей, он получает обратно свою ставку плюс равную ей сумму денег. Если число, на которое он поставил, выпадает на двух костях, ему возвращают его ставку плюс удвоенную сумму денег. Если же названное им число выпадает на всех трех костях, то он получает свою ставку и сверх нее утроенную сумму денег. Разумеется, если цифра, на которую он поставил, не выпадает ни на одной из костей, ставка считается проигранной.