Математические головоломки и развлечения
Шрифт:
7. Складывание карты. Математикам и по сей день не удалось найти формулу для числа способов, которыми можно сложить дорожную карту при заданном числе n сгибов. Некоторое представление о сложности этого вопроса дает следующая головоломка, придуманная все тем же Генри Э. Дьюдени.
Разделите прямоугольный листок бумаги на восемь квадратов и перенумеруйте их (только с одной стороны листа) так, как показано на рис. 153 вверху.
< image l:href="#"/>Рис. 153 Головоломка
Существует 40 различных способов перегибания этой «карты» вдоль проведенных прямых, при которых на верхнем квадрате после складывания оказывается цифра 1. Карту требуется складывать так, чтобы цифры на квадратах шли последовательно от 1 до 8, причем квадрат с цифрой 1 был наверху.
Если вам удалось решить эту задачу, постарайтесь решить более сложную: попробуйте сложить таким же образом «карту», изображенную на рис. 153 внизу.
8. Рассеянный кассир. Рассеянный кассир, оплачивая чек мистеру Брауну, перепутал доллары и центы и отсчитал клиенту доллары вместо центов и центы вместо долларов. Купив газету за пять центов, Браун обнаружил, что денег у него ровно вдвое больше, чем он должен получить по чеку. На какую сумму был выписан чек?
9. Вода и вино. В уже упоминавшейся задаче с таким названием говорилось о двух сосудах, в одном из которых содержалось вино, а в другом вода. Некоторое количество воды наливают в вино, а затем то же количество смеси переливают снова в сосуд с водой.
Спрашивается, чего больше: воды в вине или вина в воде? Ответ: количество воды в сосуде с вином и вина в сосуде с водой одинаково.
Раймонд Смаллиан поставил новый вопрос. Предположим, что сначала в одном сосуде находится 10 унций воды, а в другом 10 унций вина. Если из первого сосуда во второй и обратно переливать любое число раз по три унции жидкости (тщательно перемешивая содержимое сосуда после каждого переливания), то может ли наступить момент, когда процентное содержание вина в сосудах станет одинаковым?
Ответы
1. Приводимое ниже решение задачи о том, как пересечь пустыню, заимствовано из журнала Eureka, издаваемого студентами-математиками университета в Кеймбридже (Массачусетс). Назовем «единицей» расстояние в 500 миль, одной заправкой — количество бензина, необходимое для того, чтобы проехать 500 миль, и рейсом — поездку, совершаемую грузовиком в любом направлении от одной остановки до другой.
Две заправки позволяют грузовику пройти максимальное расстояние в 4/3 единицы. Для этого необходимо совершить четыре рейса. Сначала на расстоянии 1/3 единицы от пункта отправления строится бензохранилище: грузовик полностью заправляют (на это уходит 1 заправка), после чего он едет к бензохранилищу, оставляет там 1/3 заправки и возвращается назад. Его снова полностью заправляют (на что уходит еще 1 заправка). Он опять едет к бензохранилищу и забирает оставленную там 1/3 заправки (таким образом, он снова оказывается полностью заправленным). После этого он может проехать еще расстояние в 1 единицу.
Три заправки позволят грузовику проехать расстояние в 4/3 + 1/5 единицы, причем для этого потребуется совершить девять рейсов.
Сначала на расстоянии 1/5 единицы от пункта отправления строят бензохранилище и завозят в него 6/5 заправки. На это уходят три рейса. Затем грузовик возвращается, полностью заправляется (на что уходит последняя заправка) и прибывает к первому хранилищу, имея в своих баках 4/5 заправки. Вместе с уже имеющимся в бензохранилище топливом это количество составляет две полные заправки, что достаточно для того, чтобы грузовик мог пройти еще 4/3 единицы расстояния (как это сделать, мы только что объяснили).
Нам осталось еще ответить на второй вопрос о минимальном количестве бензина, необходимом для того, чтобы грузовик мог проехать 800 миль. Три заправки, как мы только что выяснили, позволяют грузовику покрыть расстояние в 766∙2/3 мили (4/3 +1/5 единицы), поэтому на расстоянии 33∙1/3 мили (1/15 единицы) от пункта отправления необходимо построить еще одно (третье) бензохранилище. За пять рейсов экипаж грузовика сможет построить это хранилище и завезти в него столько горючего, что, когда в конце седьмого рейса грузовик поравняется с третьим хранилищем, общее количество бензина в его баках и в хранилище составит три заправки.
Как мы уже знаем, этого количества топлива достаточно для того, чтобы грузовик смог пройти оставшееся расстояние в 766∙2/3 мили. На семь рейсов, совершенных между пунктом отправления и вновь построенным бензохранилищем, израсходовано 7/15 заправки.
Трех оставшихся заправок как раз достаточно для того, чтобы проехать оставшуюся часть пути. Таким образом, на весь путь будет израсходовано 3∙7/15, или больше 3,46, заправки. Всего потребуется совершить шестнадцать рейсов.
Рассуждая в том же духе, можно показать, что, имея четыре заправки, грузовик сумеет проехать расстояние в 1∙1/3 +1/5 + 1/7 единицы.
На границах отрезков пути длиной в 1∙1/3, 1/5 и 1/7 следует расположить бензохранилища. С увеличение числа заправок этот бесконечный ряд расходится, поэтому грузовик сможет пересечь пустыню любой ширины. Если ширина пустыни 1000 миль, то для преодоления этого расстояния потребуется построить 7 бензохранилищ, совершить 64 рейса и израсходовать 7,673 заправки бензина.
В связи с этой задачей редакция получила сотни писем с общими решениями и интересными замечаниями. Сесил Дж. Филлинс, профессор математики Флоридского университета, следующим образом сформулировала существо дела.