Математические головоломки и развлечения
Шрифт:
Рис. 156 Если лист бумаги согнуть так, чтобы его нижний край прошел через фокус, то линия сгиба будет касательной к параболе.
Отмеченная точка служит фокусом параболы, край листа — ее директрисой, а линия сгиба—касательной к параболе. Нетрудно видеть, что по самому построению любая точка кривой равноудалена от фокуса и директрисы. Именно это свойство и определяет параболу.
Интересная задача из области элементарного анализа возникает в связи с нашим способом построения параболы. Возьмем лист бумаги размером 8
Рис. 157 Задача из области математического анализа, возникающая при складывании бумаги.
Передвигая угол А вверх и вниз вдоль левого края и фиксируя в каждом положении линию сгиба, мы получаем семейство касательных к параболе с фокусом в правом нижнем углу развернутого листа. В какую точку левого края листа следует поместить угол А для того, чтобы линия сгиба, пересекающая нижний край листа, имела наименьшую длину? Чему равна минимальная длина линии сгиба? Читателям, не знакомым с дифференциальным исчислением, будет небезынтересно рассмотреть следующий более простой вариант этой же задачи. Уменьшим ширину листа до 7,68 см и перегнем его так, чтобы угол А совпал с точкой левого края, отстоящей от основания на расстоянии 5,76 см.
Какова при этом длина линии сгиба?
Но довольно о математической стороне искусства складывания фигур из бумаги! Сейчас я расскажу вам, как сложить из листа бумаги птицу, машущую крыльями, — одно из наиболее замечательных (с различных точек зрения) достижений оригами. Эта игрушка может служить не только образцом изящества, но и шедевром механики. Для того чтобы было легче следить за изложением, я рекомендую читателю взять квадратный лист бумаги (лучше всего для этих целей подходит плотная оберточная бумага) и самому проделать все те хитроумные манипуляции, о которых пойдет речь.
Удобнее всего работать с квадратным листом бумаги со стороной 12 см. (Некоторые искусники умудряются сделать миниатюрную птичку из сложенной в виде квадрата долларовой бумажки.)
Перегните лист по двум диагоналям и переверните его на другую сторону (рис. 158, а) так, чтобы «долины» (сгибы, обращенные ребром вниз) стали «горными хребтами» (то есть сгибами, обращенными ребром вверх). На рис. 158 все «долины» показаны пунктиром, все «хребты» — сплошными линиями.
Рис. 158 Как сложить японскую птичку, машущую крыльями.
Перегните лист пополам, расправьте его и снова перегните пополам, но уже в перпендикулярном направлении, и снова расправьте.
В результате на листе должны появиться еще две «долины» (рис. 158, б).
Перегнем теперь лист так, чтобы две стороны квадрата, сходящиеся в одной вершине, встретились на диагонали (рис. 158, в), расправим лист и проделаем аналогичные операции в трех остальных вершинах квадрата. В результате наш лист покроется сетью сгибов (рис. 158, г). (Заметим, что последние из сделанных сгибов образуют в средней части квадрата правильный восьмиугольник.)
Следующий этап очень трудно описать словами, но, разобравшись в существе дела, легко выполнить. Обратим внимание на четыре коротких сгиба — «долины», указанные на рис. 158, г стрелками. В этих местах перегнем лист в противоположную сторону так, чтобы эти «долины» превратились в «горные хребты». Середины сторон квадрата (на рис. 158, г они обозначены буквами А, В, С и D) сдвинем внутрь. Результат показан на рис. 158, д. Углы квадрата (обозначенные буквами I, К, L и М) приподнимутся, и все сооружение примет вид, показанный на рис. 158, е.
Если все сгибы хорошо «отутюжены», а центр квадрата опущен до отказа вниз, то углы I, К, L и М нетрудно свести вместе (рис. 158, ж) и хорошенько разгладить заготовку, попарно сложив выступающие углы (рис. 158, з).
Отогнем выступ А (рис. 158, з) вдоль прямой В, после этого перевернем будущую фигурку на другую сторону и повторим аналогичную операцию со вторым выступом. Получившаяся фигура показана на рис. 158, и.
Перегнем клапан А (см. рис. 158, и) вдоль вертикальной оси В, перевернем нашу заготовку на другую сторону и повторим операцию. Результат показан на рис. 158, к.
Нижний угол А (рис. 158, к) отогнем вверх вдоль пунктирной прямой В, после чего перевернем все сооружение на другую сторону и отогнем вверх второй такой же клапан. Получившийся равнобедренный треугольник повернем так, чтобы его вершина была обращена вверх (рис. 158, л) Дальнейшие операции удобнее проделывать, держа модель на весу.
Потянув за верхушку (рис. 158, м), отогнем внутренний клапан М под некоторым углом влево и разгладим линию сгиба у основания М. Клапан N отогнем вправо. Конец клапана М вогнем внутрь и разгладим так, чтобы он стал похож на птичью голову (рис. 158, н).
Изогнем крылья (не делая новых сгибов) дугой. Если взять бумажную птичку за грудку и осторожно потянуть за хвост, она изящно взмахнет крыльями (рис. 158, о).
Птица — не единственная «действующая модель» живого существа в оригами: искусные мастера умеют складывать из бумаги разевающих рот рыбок, лягушек, которые прыгают, если их тронуть за спинку, и т. д. Переводчик Унамуно рассказывает, что великий испанский поэт любил делать «живых» зверушек и птиц, сидя за чашечкой кофе в одном из небольших ресторанов Саламанки. Нужно ли удивляться, что уличные мальчишки буквально приклеивались носами к витринам, с восхищением следя за волшебным зрелищем!
* * *
С каждым годом растет литература по оригами. Появляются в продаже комплекты, позволяющие самостоятельно складывать различные конструкции. Британская энциклопедия посвятила оригами специальную статью. Воспитатели детских садов и учителя начальных школ уже начали открывать для себя этот вид искусства, но большинство из них все еще относится к нему с сильным предубеждением. В сознании этой части учителей оригами ассоциируется с широко распространенным в начале века, но пустым увлечением — вырезанием и склеиванием необычайно сложных узоров из цветной бумаги. (В педагогическую практику его ввел основатель детских садов Ф. Фребель; в США «дурное влияние» этого повального увлечения сказалось на деятельности многих учителей.)