Математические головоломки и развлечения
Шрифт:
Оба найденные квадрата были шестьдесят девятого порядка.
Брукс, продолжая экспериментировать над не слишком сложными роторами, сумел получить совершенный квадрат тридцать девятого порядка, соответствующий ротору на рис. 171.
Рис. 171
Полное описание этого квадрата содержится в формуле: [2378, 1163, 1098], [65, 1033], [737, 491], [249, 242], [7, 235], [478, 259], [256], [324, 944], [219, 296], [1030, 829, 519, 697], [620], [341, 178], [163, 72 154], [201, 440, 157, 31], [126, 409], [283], [1231], [992, 140], [852].
В этой формуле каждая пара скобок соответствует одному из горизонтальных отрезков на схеме разбиения совершенного квадрата.
Горизонтальные отрезки берутся в том порядке, как они следуют по вертикали сверху вниз. Первым идет верхнее основание совершенного квадрата; его нижнее основание в перечислении горизонтальных отрезков не участвует. Числа в скобках означают длины сторон тех элементарных квадратов, чьи верхние основания принадлежат соответствующему горизонтальному отрезку; эти длины перечисляются по порядку, слева направо. Приведенная сторона совершенного квадрата равна сумме чисел, заключенных в первых скобках, то есть 4639.
Эти обозначения принадлежат К. И. Баувкампу. Он воспользовался ими при составлении своего списка простых квадрируемых прямоугольников до 13-го порядка включительно.
На этом по существу и заканчивается история о том, как была решена задача о построении совершенного квадрата. Правда, мы продолжали работать над нею и после того, как были получены первые положительные результаты. Дело в том, что все совершенные квадраты, полученные по методу ротора — статора, обладали некоторыми свойствами, которые мы считали их недостатками. Каждый из построенных нами квадратов содержал совершенный прямоугольник меньших размеров, то есть не был простым. Каждый из них имел внутри себя точку, которая принадлежала четырем элементарным квадратам одновременно, то есть была центром «креста», образованного сторонами этих квадратов. Наконец, каждый из построенных нами совершенных квадратов содержал элементарный квадрат, который, хотя и был отличен от четырех угловых элементарных квадратов, тем не менее делился диагональю большого квадрата пополам. Используя более тонкую теорию роторов, мы сумели построить совершенные квадраты, лишенные двух первых недостатков. И лишь несколькими годами позже с помощью метода, основанного на использовании симметрии совсем иного рода, я получил совершенный квадрат 69-го порядка, свободный от всех трех недостатков. Я не могу останавливаться здесь на изложении этой работы и вынужден отослать тех читателей, кого она заинтересует, к специальным статьям.
В истории совершенного квадрата следует назвать еще три эпизода, хотя каждый из них знаменует не подъем, а спад в развитии теории.
Начнем с того, что мы не прекращали работы по составлению каталога совершенных прямоугольников 13-го порядка. Однажды мы обнаружили, что два из найденных прямоугольников имеют одинаковую форму, хотя все элементы у них различны. Это позволило построить совершенный квадрат 28-го порядка (идея его построения ясна из рис. 165). Позднее мы нашли совершенный прямоугольник 13-го порядка, который в комбинации с совершенным прямоугольником 12-го порядка и одним элементарным квадратом позволил построить совершенный квадрат 26-го порядка. Если о качестве совершенного квадрата судить по малости его порядка, то эмпирический метод составления каталога совершенных треугольников доказал свое превосходство над нашим изящным теоретическим методом.
Эмпирический метод позволил добиться замечательных результатов и другим исследователям. Р. Спрэг ухитрился сложить из элементарных квадратов совершенный квадрат 55-го порядка. Это был первый из опубликованных совершенных квадратов (1939 год).
Позднее Т. Г. Уиллкокс, включивший в свой каталог не только простые, но и составные совершенные прямоугольники, нашел совершенный квадрат 24-го порядка (рис. 172).
Рис. 172
Его формула имеет следующий вид: [55, 39, 81], [16, 9, 14], [4, 5], [3, 1], [20], [56, 18], [38], [30, 51], [64, 31, 29], [8, 43], [2, 35], [33]. Этот совершенный квадрат и поныне держит рекорд малости порядка.
В отличие от теоретического метода эмпирический подход до сих пор еще не позволил построить ни одного простого совершенного квадрата.
На тот случай, если кому-нибудь из читателей захочется самому повозиться с совершенными прямоугольниками, приведу две нерешенные задачи. Первая заключается в том, чтобы найти наименьший возможный порядок совершенного квадрата, вторая — в том, чтобы построить простой совершенный прямоугольник, горизонтальная сторона которого вдвое больше вертикальной.
* * *
В 1960 году К. И. Баувками опубликовал каталог всех простых квадрируемых прямоугольников (то есть квадрируемых прямоугольников, не содержащих квадрируемых прямоугольников меньших размеров) до 15-го порядка включительно. С помощью компьютера Баувкамп и его сотрудники получили следующие результаты:
Порядок прямоугольников 9 10 11 12 13 14 15
несовершенных 1 0 0 5 33 104 283
совершенных 2 6 22 67 213 744 2609
Несовершенными простыми квадрируемыми прямоугольниками здесь названы такие, которые содержат по крайней мере два одинаковых квадрата; совершенными — такие прямоугольники, в разбиение которых входят только неповторяющиеся квадраты. Общее число простых квадрируемых прямоугольников до 15-го порядка включительно равно 4094. Интересно отметить, что все простые квадрируемые прямоугольники 10-го и 11-го порядков одновременно являются и совершенными. Единственный несовершенный простой прямоугольник 9-го порядка имеет формулу: [6, 4, 5], [3, 1], [6], [5, 1], [4]. Он обладает приятной симметрией и может служить превосходной задачей на разрезание для детей.
Несколько квадрируемых прямоугольников было опубликовано в сборниках головоломок С. Лойда и Г. Дьюдени, но ни один из этих прямоугольников не был ни простым, ни совершенным. Пример простого, но не совершенного квадрируемого квадрата 26-го порядка приведен в книгах Г. Штейнгауза и М. Крайчика. Один из читателей прислал мне фотографию красивого внутреннего дворика прямоугольной формы, выложенного из 19 квадратных бетонных блоков с двухдюймовыми прокладками из красного дерева.
Наименьший из опубликованных квадратов, являющийся одновременно и простым и совершенным, построил Р. Л. Брукс. Это квадрат 38-го порядка со стороной 4920. В 1959 году результат Брукса был улучшен Т. Г. Уиллкоксом, который нашел квадрат 37-го порядка со стороной 1947.
Естественно, возникает вопрос, можно ли рассечь куб на конечное число меньших кубов так, чтобы все они были различных размеров. Оказывается, нет. Изящное доказательство этого было дано «выдающимися математиками» из Тринити-колледжа [54] Ход доказательства примерно таков.
Представьте себе, что на столе перед вами стоит куб, разрезанный на кубики меньших размеров, причем среди кубиков нет двух одинаковых. Ясно, что нижняя грань куба представляет собой дрируемый квадрат. Среди элементарных квадратов, входящих в разбиение нижней грани, найдется наименьший. Нетрудно видеть, что наименьший квадрат не может прилегать к стороне большого квадрата, то есть к ребру нижней грани куба. Поэтому наименьший из кубов, опирающихся на крышку стола, — назовем его куб А — должны окружать другие кубы. Ни один из этих окружающих кубов не может быть меньше куба А, поэтому их грани образуют вокруг него забор, высота которого превышает высоту куба А.
54
Brooks R. L., Smith С. А. В., Stone A. H., Tutte W. Т. The Dissection of Rectangles into Squares: Duke Mathematical Journal, 7, 1940, pp. 312–340.
Следовательно, на куб А может опираться лишь куб еще меньших размеров. На верхней грани куба А они порождают некий руемый квадрат. Среди элементарных квадратов, на которых разлагается верхняя грань куба А, найдется наименьший квадрат. Обозначим через В наименьший из кубов, опирающихся на верхнюю грань куба А.
В свою очередь среди кубов, опирающихся на верхнюю грань куба В, найдется наименьший куб С. Итак, мы получаем бесконечную последовательность все меньших и меньших кубов, напоминающую известное шуточное стихотворение Свифта о блохах, которых кусают еще меньшие блошки, и т. д. до бесконечности. Следовательно, куб нельзя рассечь на конечное число неповторяющихся кубов меньших размеров.