Математические головоломки и развлечения
Шрифт:
Еще труднее точно сформулировать задачу о трех заключенных и тюремном надзирателе, которая получила широкую известность.
Она также приводит к неожиданным парадоксам.
Три узника А, В и С, приговоренные к смертной казни, сидели в одиночных камерах. Губернатор решил помиловать одного из них. Записав имена заключенных на трех листочках бумаги, он бросил листочки в шляпу и тщательно перемешал. Затем он вытащил один листочек, прочитал значившееся там имя и сообщил по телефону свое решение тюремному надзирателю, потребовав от того, чтобы имя счастливчика в течение еще нескольких дней хранилось в тайне. Слух о помиловании дошел до заключенного А. Во время утреннего обхода А попытался выведать у надзирателя, кто же помилован, но тот отказался отвечать на подобные вопросы.
— Тогда назовите, — попросил А, — имя одного из заключенных, которые будут казнены. Если помилован В, назовите мне имя С.
Если помилован С, назовите мне имя В. Если помиловали меня, то бросьте монетку, чтобы решить, кого назвать — В или С.
— Но если вы увидите, что я бросаю монетку, — ответил осторожный надзиратель, — то сразу узнаете, что помиловали именно вас, а увидев, что я не бросаю монетку, вы догадаетесь, что помиловали либо вас, либо того, чье имя я не назову.
— Хорошо, — сказал А, — можете ничего не говорить мне сейчас, ответьте на мой вопрос завтра.
Надзиратель, ничего не знавший о теории вероятностей, провел в размышлениях всю ночь и решил, что даже если он и примет предложение А, то это ничем не поможет А оценить свои шансы остаться в живых. Поэтому на следующее утро надзиратель сообщил А, что казни подлежит заключенный В.
Когда надзиратель ушел, А про себя посмеялся над глупостью тюремщика: ведь теперь то, что у математиков принято называть «пространством элементарных событий», состояло лишь из двух равновероятных элементов: губернатор мог помиловать либо С, либо самого А. Следовательно, по всем правилам вычисления условной вероятности шансы А остаться в живых возросли с 1/3 до 1/2.
Надзиратель не знал, что А мог перестукиваться с находившимся в соседней камере заключенным С по водопроводной трубе. А не замедлил подробно передать своему соседу все, о чем он спросил надзирателя и что тот ему ответил. Заключенный С также обрадовался новости, потому что, рассуждая так же, как А, он подсчитал, что и его шансы остаться в живых возросли до 1/2.
Правильно ли рассуждали оба узника? Если же нет, то как должен был вычислять свои шансы на помилование каждый из них?
* * *
Вряд ли можно найти более красноречивый пример того, насколько легко может ошибиться при подсчете вероятности даже специалист и насколько рискованно полагаться на наглядные геометрические представления, чем второй вариант приведенной нами задачи о сломанной палке. Помещенное выше решение заимствовано из задачника по теории вероятностей, такой же ответ можно обнаружить и во многих других старых учебниках теории вероятностей. И все же это решение совершенно неправильно!
В первом варианте задачи, когда палку ломают в двух одновременно выбранных точках, каждый акт такого разделения палки на три части изображается на чертеже точкой, и они в совокупности равномерно заполняют три нижних (малых) треугольника.
Уитворт предполагает, что во втором варианте задачи, когда палку сначала случайным образом переламывают пополам, а затем, выбрав более длинный обломок, переламывают и его, точки, изображающие результаты двух последовательных переламываний палки, также будут заполнять три нижних треугольника. Но это предположение неверно: во втором случае в средний треугольник точки будут попадать чаще, чем в два других.
Примем длину палки за 1 и обозначим через х длину более короткого обломка, получившегося после первого переламывания палки. Чтобы построить треугольник, мы должны переломить в какой-то точке больший обломок, длина которого составляет (A-х) единиц. Следовательно, вероятность построить треугольник составляет 1/(1-x). Усреднив по х от 0 до 1/2, мы получаем — 1 + 2 In 2, или 0,386. Сломав палку в первый раз, мы еще должны после этого выбросить более длинный обломок. Так как этот выбор мы производим с вероятностью 1/2, число 0,386 для получения окончательного ответа нужно умножить на 1/2. В результате мы получаем ответ задачи: 0,193. Это чуть больше 1/6 — ответа, к которому приводят предыдущие рассуждения.
После опубликования мною статьи, составляющей содержание этой главы, я получил любопытное письмо от сотрудников Отдела учебных тестов из Принстона. Прислав правильное решение второго варианта задачи о сломанной палке, они предложили мне ответить, какая из следующих трех гипотез наиболее вероятна:
1) м-р Гарднер честно заблуждается;
2) м-р Гарднер умышленно совершает ошибки в рассуждениях, чтобы испытать своих читателей;
3) м-р Гарднер виновен в том, что в математическом мире принято называть заблуждениями Даламбера.
Сообщаю: наиболее вероятна третья гипотеза.
Ответы
Ответ к задаче о трех смертниках: вероятность того, что помилован A, равна 1/3, вероятность того, что помилован С— 2/3.
Независимо от того, кто помилован в действительности, надзиратель сообщает А, что казнить собираются другого заключенного, поэтому, что бы ни сказал тюремщик заключенному А, вероятность остаться в живых для того по-прежнему остается равной 1/3.
Аналогичная ситуация возникает в следующей карточной игре.
Две черные карты (означающие смертный приговор) и одна красная карта (соответствующая помилованию) перетасовываются и сдаются трем игрокам А, В и С (заключенным). Если четвертый участник игры (надзиратель) заглянет во все карты, а затем откроет черную карту, принадлежащую либо В, либо С, то какова вероятность того, что у А красная карта? Трудно удержаться от искушения предположить, что искомая вероятность равна 1/2, так как нераскрытыми остались только две карты, лишь одна из которых черная. Но так как у одного из двух игроков, В или С, всегда должна быть черная карта, то показ ее не позволяет сделать никаких заключений о цвете карты, сданной игроку А.
Это нетрудно понять, если усугубить ситуацию — смертному приговору будет соответствовать туз пик в полной карточной колоде. Предположим, что карты сданы и А открывает одну из полученных им карт. Вероятность избежать смертного приговора для А равна 51/52. Если кто-нибудь заглянет в карты и откроет 50 карт, отличных от туза пик, то нераскрытыми останутся только две карты, одна из которых заведомо должна быть тузом пик, но это, очевидно, не понижает шансов А до 1/2. Не понижает потому, что, заглянув в 51 карту, мы всегда можем найти среди них 50 карт, значение которых отлично от туза пик. Поэтому, найдя и открыв их, мы не изменим вероятности того, что А не будет приговорен к смертной казни. Другое дело, если мы наугад раскрыли 50 карт и среди них не оказалось туза пик. В этом случае А с вероятностью 1/2 должен вытащить роковую карту.