Математические головоломки и развлечения
Шрифт:
Испанский философ Ортега-и-Гассет в книге о своем друге Унамуно рассказывает, как однажды философ сложил из бумаги несколько фигурок для маленького мальчика, который спросил его, разговаривают ли между собой птички. Этот вопрос вдохновил Унамуно на создание одной из наиболее известных его поэм. У Унамуно есть юмористический очерк о складывании из бумаги и даже фундаментальная статья на эту тему.
Крупнейшим из современных художников оригами считается Акира Иошидзава из Токио. Им написано несколько книг о любимом искусстве и множество статей.
Ответы
Нашу задачу о сложенном листе бумаги лучше всего решать как задачу
а расстояние от угла А до точки пересечения линии сгиба с правым краем листа равно
Приравняв производную последней функции нулю, мы найдем значение х=6. Следовательно, угол А касается левого края в точке, отстоящей от основания на
а длина сгиба составляет
или немногим больше 10,392 см.
Интересная особенность этой задачи заключается в том, что минимальная длина сгиба, пересекающего нижний край листа, не зависит от ширины листа и получается при х, равном 3/4 ширины.
Три четверти ширины, умноженные на
дают длину сгиба. Если требуется минимизировать площадь той части листа, которая при сгибании оказывается сверху, то х всегда должен составлять 2/3 ширины.
Длина сгиба в более простом варианте задачи (когда ширина листка бумаги была сужена до 7,68 см а угол А помещен в точку левого края, находящуюся на расстоянии 5,76 см от основания листа) составляет ровно 10 см.
Глава 32. КВАДРИРОВАНИЕ КВАДРАТА
Можно ли разрезать квадрат на меньшие квадраты так, что среди последних никакие два не будут одинаковыми? Долгое время считали, что эта чрезвычайно трудная математическая задача неразрешима. Преодолеть все трудности удалось лишь после того, как задача была переведена на язык теории электрических цепей, а затем снова на язык геометрии плоских фигур. Ниже мы приводим увлекательный рассказ профессора математики университета в Торонто Уильяма Т. Татта о том, как ему и трем его товарищам по Кембриджскому университету удалось в конце концов дрировать квадрат.
Это рассказ о математическом исследовании, проведенном в 1936–1938 годах четырьмя студентами Тринити-колледжа Кембриджского университета. Одним из них был автор этой статьи.
Другим — К. А. Б. Смит, будущий специалист по статистическим проблемами генетики, автор многих статей по теории игр и задачи об отыскании фальшивой монеты среди заданного набора монет. Третьим участником был А. Г. Стоун, один из изобретателей флексатонов, позже получивший ряд важных результатов в исследовании теоретико-множественной топологии. Четвертым был Р. Л. Брукс, который впоследствии стал государственным чиновником, но на всю жизнь остался верен своему увлечению математическими головоломками. Свидетельство тому — важная теорема из теории раскраски графов, носящая его имя. С присущей молодости скромностью эти четверо студентов называли себя не иначе как «выдающимися математиками» Тринити-колледжа.
В 1936 году литература по задаче о разрезании прямоугольника на неповторяющиеся квадраты была крайне бедна. Так, было известно, что прямоугольник со сторонами 32 и 33 единицы можно разрезать на девять квадратов со сторонами 1, 4, 7, 8, 9, 10, 14, 15 и 18 единиц (рис. 159).
Стоуна заинтересовало высказанное в «Кентерберийских головоломках» Дьюдени предположение о том, что квадрат нельзя разрезать на неповторяющиеся квадраты. Из чистого любопытства он попытался найти доказательство этой гипотезы, но безуспешно, однако ему удалось найти разбиение прямоугольника со сторонами 176 и 177 единиц на 11 неповторяющихся квадратов (рис. 160).
Достигнутый успех, хотя он и не был полным, окрылил воображение Стоуна и трех его друзей, и вскоре все всерьез увлеклись задачей и стали уделять ей много времени. Была разработана специальная терминология. Прямоугольник, который можно разрезать на неповторяющиеся квадраты, назвали «совершенным» прямоугольником. Позднее для обозначения прямоугольника, который допускает разрезание на два или большее число квадратов, не обязательно разных, был предложен термин «квадрируемый» прямоугольник.
Оказалось, что построить совершенный прямоугольник крайне просто. Метод построения заключается в следующем. Нарисуем прямоугольник, разрезанный на меньшие прямоугольники (рис. 161), и рассмотрим получившийся рисунок как искаженное изображение некоторого квадрируемого прямоугольника.
Предположив, что меньшие прямоугольники на самом деле являются квадратами, с помощью несложных алгебраических выкладок найдем, какими должны быть длины сторон этих квадратов, чтобы сделанное предположение было верным. Рассмотрим, например, прямоугольник, изображенный на рис. 161.
Рис. 161
Обозначив стороны двух смежных квадратов через х и у, сразу же получим, что длина стороны примыкающего к ним снизу квадрата равна х + у, а сторона квадрата, примыкающего слева к квадратам со сторонами у и х + у, равна х + 2у и т. д. Продолжая этот процесс, получим показанные на рис. 161 формулы, выражающие длины сторон всех 11 квадратов, на которые разрезан исходный прямоугольник. Эти формулы обеспечивают плотное (то есть без просветов и наложений) прилегание квадратов друг к другу всюду, кроме отрезка АВ. Выбирая х и у так, чтобы они удовлетворяли уравнению