Математические головоломки и развлечения
Шрифт:
Затем, перегнув карту пополам, сложим ее так, чтобы правая половина карты накрыла ее левую половину, то есть квадрат 5 оказался
наложенным на квадрат 2, квадрат 6 — на квадрат 3, квадрат 4 — на квадрат 1 и квадрат 7 — на квадрат 8. Сложенную вдвое карту перегнем еще раз пополам так, чтобы ее нижняя половина накрыла верхнюю половину. При этом квадрат 4 накроет квадрат 5, а квадрат 7 — квадрат 6. Внутреннюю часть карты сложим еще раз пополам так, чтобы квадраты 4 и 5 оказались между квадратами 6 и 3, а затем подогнем край карты (квадраты 1 и 2) под образовавшийся пакетик. Первая карта свернута по всем правилам!
Вторую карту сначала нужно сложить пополам (номерами квадратов наружу), перегнув ее по горизонтали так, чтобы сверху оказались квадраты с номерами 4, 5, 3 и 6. Затем следует отогнуть левый край двойной полосы так, чтобы квадрат 4 накрыл собой квадрат 5. Правый конец полоски (квадраты 6 и 7) после этого нужно ввести внутрь сложенной вдвое карты между квадратами 1 и 4 и протащить за то ребро квадрата 4, по которому уже был произведен сгиб, так чтобы квадраты 6 и 7 оказались между квадратами 8 и 5, а квадраты 3 и 2 — между квадратами 1 и 4.
8. Пусть x — число долларов, а у — число центов в той сумме, на которую мистер Браун выписал чек. Условие задачи можно записать в виде уравнения
100y + x — 5 = 2(100x + y),
или, что то же самое,
99y — 199x = 5
Это диофантово уравнение, имеющее бесконечно много решений в целых числах. Обычный метод решения с помощью непрерывных дробей дает наименьший ответ в положительных целых числах х = 31, у = 63. Следовательно, мистер Браун выписал чек на сумму 31 доллар 63 цента. Это единственный ответ задачи, поскольку ближайшее к найденному решение х = 129, у = 262 не удовлетворяет требованию: у должен быть меньше 100. [51]
51
В одном долларе сто центов.
Однако существует гораздо более простой подход к решению.
Пусть, как и прежде, х означает число долларов, а у — число центов. После покупки газеты у Брауна осталось денег 2х + 2у. При этом из х центов, выплаченных ему кассиром, у него осталось х-5 центов.
Мы знаем, что у меньше 100, но мы не можем сказать с уверенностью, будет ли у меньше 50 центов. Если это так, то мы вправе записать уравнения
2x = y
2y = x-5
Если у равен 50 или большему количеству центов, то после покупки газеты у Брауна останется 2у центов, что больше или равно числу оставшихся у него долларов. Поэтому в написанные нами уравнения в этом случае необходимо внести некоторые изменения:
из 2у вычесть 100 и прибавить 1 к 2х. Уравнения примут вид
2x+1 = y
2y-100 = x-5
Каждая из систем уравнений легко решается. Первая система приводит к отрицательному значению х, что исключается. Вторая дает правильный ответ.
9. Независимо от того, сколько вина в одном сосуде и сколько воды в другом, а также от того, сколько жидкости переносится из сосуда в сосуд за один раз (за исключением единственного случая, когда в одном из сосудов вообще нет жидкости), достичь равенства процентного содержания вина в обеих смесях невозможно. Это нетрудно доказать с помощью простого рассуждения по индукции.
Если в сосуде А содержится вино более высокой концентрации, чем в сосуде В, то и после того, как мы отольем часть жидкости из А в В, в А останется вино более высокой концентрации. Точно так же, переливая вино из В в А, то есть из сосуда с вином низкой концентрации в сосуд с вином более высокой концентрации, мы заведомо оставляем в В вино более низкой по сравнению с А концентрации.
Так как при каждом переливании могут представляться только эти два случая, то в сосуде А всегда будет смесь с более высоким процентным содержанием вина, чем в В. Единственный способ уравнивания концентраций заключается в том, чтобы полностью перелить содержимое одного из сосудов в другой.
Только что приведенное решение исходит из неверного допущения: оно предполагает, что жидкости бесконечно делимы, в то время как они состоят из дискретных молекул. На это указал мне в своем письме один из читателей.
Сэр!
Ваше решение задачи о смешивании вина и воды явно игнорирует физическую природу рассматриваемых объектов. Когда из смеси двух жидкостей берут пробу, то относительное количество одной из жидкостей в пробе будет отличаться от относительного количества той оке жидкости в смеси. Отклонение от «правильного» относительного количества будет порядка
, где n — число молекул интересующей нас жидкости.
Следовательно, уравнять концентрации вина в двух сосудах можно. Вероятность выравнивания концентраций становится заметно отличной от нуля после того, как неравенство концентраций понижается до величины порядка у/п. Для этого необходимо произвести лишь 47 двойных переливаний, о которых говорится в условии задачи…
Глава 30. ИНДУКТИВНАЯ ИГРА ЭЛУЗИС
В большинстве математических игр, начиная с игры в крестики и нолики и кончая шахматами, от играющего требуется умение мыслить индуктивно. Совсем иные требования предъявляет элузис — замечательная карточная игра, изобретенная Робертом Эбботом.