Математические основы живописи и архитектуры
Шрифт:
Рис. 7. Невозможные фигуры
Рис. 8. Ленты Мебиуса
Невозможные фигуры – это фигуры, изображенные в перспективе таким способом, чтобы выглядеть на первый взгляд обычной фигурой. Однако при более внимательном рассмотрении
Лента Мебиуса – это трехмерный объект, имеющий только одну сторону. Такая лента может быть легко получена из полоски бумаги, если перекрутить один из концов полоски, а затем склеить оба конца друг с другом (рис. 8).
Необычные системы перспективы, содержащие две или три исчезающие точки, также являются излюбленной темой многих художников. К ним также относится родственная область – анаморфное искусство. Слово анаморфный (anamorthic) состоит из двух греческих слов «ana» (снова) и «morthe» (форма). К анаморфным относятся изображения, настолько сильно искаженные, что разобрать их без специального зеркала бывает невозможно. Если смотреть в анаморфоскоп, то изображение «формируется снова» в узнаваемую картину.
Рис. 9. Фракталы
Фрактал – это объект, повторяющий сам себя в различных масштабах, которые связаны математическим способом. Фракталы формируются итерационно, многократно повторяя вычисления так, что получается объект высокой сложности с множеством мелких деталей (рис. 9).
1. Какие фигуры и объекты наиболее часто используются в математическом изобразительном искусстве?
2. Что такое многогранник?
3. Какие многогранники относятся к Платоновым телам?
4. Что такое тело Архимеда?
5. Какие многогранники называют призмами и антипризмами?
6. Какие многогранники называют телами Кеплера – Пуансо?
7. Что такое тесселяции?
8. Какие тесселяции называют правильными и полуправильными?
9. Какая фигура называется невозможной?
10. Что представляет собой лента Мебиуса?
11. Какие изображения называют анаморфными?
12. Что такое фрактал?
§ 2. Аксонометрия
Аксонометрия – метод проектирования взаимно параллельными лучами, наклонными к плоскости проекций. Термин аксонометрия представляет сочетание двух греческих слов – «ось» и «мерить». Название точно определяет процесс построения аксонометрических изображений, основанный на воспроизведении размеров проектируемого предмета по направлениям трех осей – длины, ширины и высоты.
К изображениям в аксонометрических проекциях в работах архитекторов, инженеров и художников предъявлялись различные требования, поэтому были созданы особые виды таких проекций для различных целей.
Общим для всех видов аксонометрических проекций является то, что за основу для изображения любого предмета принимают то или иное расположение осей ОХ, ОУ, OZ, по направлениям которых и отмеряют длину, ширину и высоту данного предмета.
Аксонометрические проекции принято
Рис. 10. Виды аксонометрии: а – изометрия; б – диметрия; в – триметрия
В каждом из этих видов проецирование может быть прямоугольным и косоугольным. Благодаря своей наглядности аксонометрия широко применяется в изданиях технической литературы и в научно-популярных книгах.
Рассмотрим виды аксонометрических проекций: изометрическую, диметрическую и горизонтальную.
При изометрическом проектировании оси расположены под равными углами друг к другу (120°) (рис. 11, а). Окружности (рис. 11, б), находящиеся в плоскостях, параллельных плоскостям проекций, выполняются эллипсами, у которых направление малой оси совпадает с направлением оси, не входящей в плоскость, а большая ей перпендикулярна. Здесь малая ось определяется как 0,71 от диаметра окружности, большая ось равна 1,22 от диаметра окружности.
Такое расположение осей получается при прямоугольном проектировании предмета в том случае, когда все три его измерения одинаково наклонены к плоскости проекций. При таком проектировании размеры предмета по всем трем осям уменьшаются в одинаковой степени и обычно их изображают без изменения.
Рис. 11. Изометрическое проектирование: а – расположение осей координат; б – расположение окружностей
Диметрия подразделяется на прямоугольную и фронтальную (косоугольную).
Для прямоугольной диметрической проекции ось OZ вертикальна, другие две оси наклонены к горизонтали: OX – под углом в 7°, а ОУ – в 41° (рис. 12). При таком проектировании получают изображение, увеличенное в 1,06 раза по сравнению с натуральным.
Фронтальная диметрическая проекция характеризуется тем, что OZ вертикальна, ОХ горизонтальна, а ОУ направляется под углом в 135° к каждой из этих двух осей (рис. 13).
При диметрическом проектировании размеры изображаемого предмета обычно делают без искажения по осям ОХ и OZ, а по оси ОУ уменьшают вдвое. Диметрические изображения более близки к перспективным, чем другие виды аксонометрии.