Математика для любознательных
Шрифт:
Другой способ, состоящий в употреблении так называемых «дополнений», удобно применяется в тех случаях, когда перемножаемые числа близки к 100.
Предположим, что требуется перемножить 92 x 96. «Дополнение» для 92 до 100 будет 8; для 96-ти - 4. Действие производят по следующей схеме:
множители: 92 и 96
дополнения: 8 и 4.
Первые две цифры результата получаются простым вычитанием из множителя «дополнения» множимого или наоборот; т. е. из 92-х вычитают 4, или из 96-ти - 8. В том и другом случае имеем 88; к этому числу приписывают произведение «дополнений»: 8 x 4 = 32. Получаем результат 8832.
Что полученный результат должен быть верен, наглядно видно из следующих преобразований:
Какой день недели?
Умение быстро определять день недели,
1-е января 1-го года нашей эры приходилось (это установлено расчетом) на субботу. Так как в каждом простом году 365 дней, или 52 полных недели и 1 день, то год должен кончаться тем же днем недели, каким начался; поэтому последующий год начинается одним днем недели позже, чем предыдущий. Если 1 января 1-го года была суббота, то 1января 2-го года было днем позже, т. е. воскресенье, 3-го года - на 2 дня позже; а 1 января, например, 1923-го года было бы на 1922 дня (1923-1) после субботы, - если бы не было ни одного високосного года. Число високосных лет мы найдем, разделив 1923 на 4 = 480; но отсюда, для нового стиля [76] , надо исключить календарную разницу в 13 дней: 480-13 = 467. К полученному числу надо прибавить число дней, протекших после 1 января 1923-го года до определяемой даты - скажем для примера, до 14 декабря: это составит 347 дней.
76
Старый стиль - летоисчисление по юлианскому календарю, новый стиль - по григорианскому календарю.
– Прим. изд.
Сложив 1922, 467 и 347, мы делим сумму на 7 и по полученному остатку 6 определяем, что 14 декабря 1923-го года при ходилось на 6 день после субботы, - а именно на пятницу.
Такова сущность вычислений недельного дня любой даты. На практике дело значительно упрощается. Прежде всего заметим, что в течение каждого 28-летнего периода бывает, вообще говоря, 7 високосных лет (неделя), - так что каждые 28 лет день недели любой даты должен повторяться. Кроме того вспомним, что в предыдущем примере мы вычли из 1923 сначала 1, а затем календарную разницу обоих стилей, т. е. 13, всего 1 + 13 = 14 дней, или две полных недели. Но полное число недель, понятно, не влияет на результат. Поэтому для дат XX века надо принимать во внимание только: 1) число дней, протекших с 1 января данного года - в нашем примере 347; затем 2) прибавить число дней, соответствующее остатку лет от деления 1923 на 28, и, наконец, 3) число високосных лет в этом остатке, т. е. 4. Сумма этих трех чисел (347 + 19 + 4), т. е. 370, дает при делении на 7 тот же остаток 6 (пятница), который был получен нами раньше.
Таким же образом мы найдем, что 15 января 1923 г. приходилось на понедельник (14 + 19 + 4 = 37; 37: 7 - в остатке 2). Для 9 февраля нов. ст. 1917 г. мы нашли бы 39 + 13 + 3 = 55; при делении 55 на 7 получаем в остатке 6 - пятница. Для 29 февраля нов. ст. 1904 г.: 59 + 0-1 [77] = 58; остаток от деления на 7 здесь 2 - понедельник.
Дальнейшее упрощение состоит в том, что вместо полного числа дней месяца (при исчислении числа дней, протекших после 1января заданного года) принимают в расчет только его остаток от деления на 7. Далее, разделив 1900 на 28, получаем в остатке 24 года, в которых содержится 5 високосных лет; прибавив их к 24-м и найдя, что сумма 24 + 5, т. е. 29, дает при делении на 7 остаток 1, определяем, что 1 января 1900 года было в 1-й день недели. Отсюда для первых чисел каждого месяца получаем следующие цифры, определяющие соответствующие им дни недели (мы будем их называть «остаточными числами»).
77
Деля 1904 на 28, мы уже учли, что 1904-й год - високосный; беря же в феврале 29 дней, мы учитываем это обстоятельство второй раз. Поэтому надо лишний день откинуть.
Запомнить эти числа нетрудно; кроме того, их можно нанести на циферблат карманных часов, поставив возле каждой цифры циферблата соответствующее число точек [78] .
Сделаем теперь расчет дня недели, например, для 31 марта 1923 г.
Остаток от деления на 7 - это 0, т. е. суббота.
78
На стр. 268 приложен чертеж такого циферблата.
Найти день недели 16 апреля 1948 г.
Остаток от деления на 7 - это 6, т. е. пятница.
Найти день недели 29 февраля 1912 г. (нов. ст.).
* Принято во внимание, что один високосный год уже был учтен, когда мы взяли дату 29 февраля. Поэтому пишем не 3 високосных года, а 2.
Остаток от деления на 7 - это 5, т. е. четверг.
Для дат предшествующих столетий (XIX, XVIII и т. д.) можно пользоваться теми же числами; но надо помнить, что в XIX веке разница между новым и старым стилем была не 13, а 12 дней; кроме того, при делении 1800:28 получается в остатке 8, что вместе с 2 високосными годами в этом остатке составляет 10 (или 10-7 = 3), т. е. соответствующее характерное число для дат XIX века должно быть увеличено на 3-1 = 2. Так что, например, день недели 31 декабря 1864 г. нов. стиля мы определим сначала по предыдущему, а затем внесем соответствующую поправку - прибавим 2 дня.
Остаток от деления на 7 - это 0, т. е. суббота.
Найти день недели 25 апреля нов. ст. 1886 г.
Остаток от деления на 7 - это 1, т. е. воскресенье.
После недолгого упражнения можно и еще более упростить вычисления, а именно - писать, вместо приведенных здесь чисел, прямо их остатки от деления на 7. Например, день недели 24 марта 1934 г. мы определим в результате следующих простых выкладок:
Искомый день - суббота.
Подобного рода упрощенными приемами пользуются обычно те эстрадные вычислители, которые показывают публике свое искусство быстрого счета. Как видите, все это очень просто и может быть выполнено каждым после непродолжительного упражнения [79] .
Календарь на часах
Знание этих маленьких секретов может не только пригодиться нам для выполнения фокусов, но и сослужить службу в повседневной жизни. Мы легко можем превратить свои карманные часы в «вечный календарь, с помощью которого сможем определить дни недели любых дат какого угодно года. Для этого понадобится только, осторожно сняв стеклышко с часов, нанести на циферблате тушью точки возле цифр в числе, соответствующем таблице ( стр. 265 ). Как пользоваться этими точками, мы уже знаем. Особенно просто это для дат XX столетия: к числу точек прибавляют число месяца, последние две цифры года и частное от деления их на 4, а еще лучше - остатки от деления этих чисел на 7. Остаток от деления суммы этих 4 слагаемых на 7 показывает день недели, а именно:
7
Не излишне отметить, что эта относительность не есть та, о которой трактует так называемый «принцип относительности» - новое учение о пространстве и времени, недавно созданное Альбертом Эйнштейном. Изложенные здесь соображения могут лишь служить некоторой подготовкой мышления к пониманию крайне трудной по своей отвлеченности теории гениального германского физика.
0 - суббота.
1 - воскресенье.
2 - понедельник.
3 - вторник и т. д.
Еще проще пользование часами-календарем для дат текущего года. Для каждого года нужно лишь держать в памяти остаток от деления на 7 суммы числа прошедших от начала века лет и четверти этого числа; этот остаток постоянно должен прибавляться к числу месяца определяемой даты вместе с числом точек возле соответствующей цифры. Остаток этот можно было бы прибавить к числу точек и наносить ежегодно на циферблат, чтобы не было надобности вводить его в вычисление особо. Но едва ли это практично.