Математика. Утрата определенности.
Шрифт:
Я могу сравнить то, что содержится в их книгах по арифметике и другим математическим наукам, только с перламутром, смешанным с незрелыми финиками, или с жемчужинами вперемешку с навозом, или с кристаллами, перемешанными с камешками. Обе части имеют для них равную ценность, поскольку у них нет примера восхождения к вершинам логического познания.
Так как индийцы питали особую склонность к арифметике и внесли основной вклад в развитие арифметики и алгебры, их деятельность привела к расширению той части математики, которая опиралась на эмпирическую и интуитивную основу.
В то время как индийцы практически игнорировали дедуктивную геометрию, арабы предприняли критическое изучение геометрических работ древних греков и по достоинству оценили роль дедуктивного доказательства в становлении геометрии. Однако в отношении
Наиболее интересной особенностью математики индийцев и арабов является их внутренне противоречивое представление о предмете математического исследования. То, что египтяне и вавилоняне были склонны воспринимать немногие известные им арифметические и геометрические правила на эмпирической основе, само по себе не удивительно. Эмпирическая основа естественна почти для всех видов человеческого знания. Но индийцам и арабам было известно совершенно новое понятие математического доказательства, доставшееся им в наследство от греков. Однако они не позаботились о том, чтобы применить понятие дедуктивного доказательства в арифметике и алгебре. Отношение индийцев к математике можно в какой-то степени объяснить. Индийцы не придавали особого значения тем немногим достижениям греческой математики классического периода, которые были им известны, и следовали в основном александрийскому подходу к арифметике и алгебре. Но арабы были хорошо осведомлены о греческой геометрии и даже, как упоминалось, предприняли попытку критического пересмотра результатов своих предшественников. Кроме того, на протяжении нескольких веков и арабы, и индийцы находились в благоприятных для занятий чистой наукой условиях — и ничто не вынуждало математиков жертвовать доказательством ради немедленной практической отдачи. Как могло случиться, что два эти народа подошли к развитию двух областей математики совершенно иначе, чем греки классического периода и многие из александрийцев?
На этот вопрос существует несколько возможных ответов. Прежде всего, индийские и арабские математики, несмотря на арабские комментарии к дедуктивной геометрии, по существу некритически отнеслись к греческому наследию. Возможно, именно поэтому они восприняли математику такой, какой она пришла к ним: геометрия, по их мнению, должна была оставаться дедуктивной, арифметика и алгебра — эмпирическими и эвристическими. Возможно и другое объяснение: и индийцы, и арабы, в особенности последние, по достоинству оценили высокие стандарты строгости в геометрии, столь разительно отличающиеся от требований, предъявляемых к арифметике и алгебре, но не сумели подвести под арифметику надлежащий логический фундамент. В пользу такого предположения говорит хотя бы то, что арабы приводили в подтверждение решений квадратных и кубических уравнений некоторые геометрические соображения.
Не исключены и другие объяснения. Так, индийцы и арабы отдавали предпочтение арифметике, алгебре и алгебраической формулировке тригонометрических соотношений. Подобное предрасположение может свидетельствовать об ином складе ума, оно может быть обусловлено и какими-то особенностями индийской и арабской культур. Обе эти цивилизации превыше всего ставили запросы практики, а для удовлетворения практических потребностей — как мы уже отмечали, говоря о развитии математики в александрийский период, — были необходимы количественные результаты, которые давали именно арифметика и алгебра. В пользу предположения о различных складах ума косвенно свидетельствует и реакция европейцев на математическое наследие, доставшееся им от индийцев и арабов. Как мы увидим в дальнейшем, европейцы были гораздо сильнее, чем арабы и индийцы, обеспокоены логическими
Когда в конце средневековья и в период Возрождения европейцы — отчасти через арабов, отчасти непосредственно из сохранившихся греческих рукописей — ознакомились с существующим уровнем достижений математики, они своеобразно разрешили дилемму, возникшую в связи с разделением математики на два типа «знания». Настоящей математикой, по мнению европейцев, заведомо была только дедуктивная геометрия греков. Но в то же время они не могли и не хотели отрицать полезность и эффективность арифметики и алгебры, которые хотя и были лишены твердого логического фундамента, но уже значительно усовершенствовались по сравнению с классической древностью.
Первая проблема, с которой столкнулись европейцы, сводилась к старому вопросу о том, как следует относиться к иррациональным числам. Итальянский математик Лука Пачоли (ок. 1445-1514), немецкий монах и профессор математики в Йене Михаэль Штифель (1486(?)-1567), итальянский врач и ученый Джироламо Кардано (1501-1570) и фламандский военный инженер Симон Стевин (1548-1620) свободно использовали иррациональные числа, следуя здесь традиции индийцев и арабов, и ввели много новых типов иррациональностей. Так, Штифель оперировал с иррациональными выражениями вида
Иррациональные числа нашли широкое применение и в связи с одним из новых достижений математики эпохи Возрождения — логарифмами. Логарифмы положительных чисел были изобретены в конце XVI в. Джоном Непером {68} (1550-1617) для той самой цели, для которой они с тех пор и употребляются, — для ускорения арифметических вычислений. И хотя логарифмы большинства положительных чисел иррациональны (а предложенный Непером метод вычисления логарифмов основан на свободном обращении с иррациональными числами), все математики приветствовали полезное изобретение, избавившее их от излишнего труда.
68
Почти одновременно с шотландцем Джоном Непером и независимо от него к идее логарифмов пришел швейцарский часовщик Иобст Бюрги (1552-1632).
Вычисления с иррациональностями производились без каких-либо затруднений, но кое-кого все же беспокоила проблема, можно ли считать иррациональные числа «настоящими». Так, Штифель в своем главном труде «Полная арифметика» ( Arithmetica integra,1544), посвященном арифметике и алгебре, вторя Евклиду, высказывал предположение, что величины(геометрическая теория Евклида) отличны от чисел; однако, следуя духу достижений своего времени, он выражал иррациональные числа в десятичной системе. Штифеля беспокоило, что для записи иррационального вдела в десятичной системе требуется бесконечно много знаков. С одной стороны, рассуждал он,
так как при доказательстве [свойств] геометрических фигур иррациональные числа заменяют рациональные всякий раз, когда те отказываются служить нам, и доказывают все то, что не могли бы доказать те… приходится признать, что они [иррациональные числа] являются истинными числами. К тому же нас вынуждают и результаты, проистекающие из их применения, которые нельзя не признать подлинными, достоверными и незыблемыми. С другой стороны, иные соображения заставляют нас отрицать, что иррациональные числа вообще являются числами. Такое сомнение подкрепляется тем, что если мы попытаемся записать иррациональные числа в десятичной форме… то обнаружим, что они непрестанно ускользают от нас и ни одно из них не удается постичь точно… Число же, которому в силу его природы недостает точности, не может быть названо истинным числом… Следовательно, подобно тому как не является числом бесконечность, иррациональное число также не является истинным числом, а как бы скрыто от нас в облаке бесконечности.