Математика. Утрата определенности.
Шрифт:
Тем не менее, работая над созданием неевклидовой геометрии, математики обнаружили в евклидовой схеме построения геометрии столь большое число дефектов, что восхищаться ее совершенством было уже невозможно. Неевклидова геометрия стала тем рифом, о который разбилась геометрия Евклида. То, что ранее казалось надежной твердью, в действительности оказалось предательской топью.
Разумеется, евклидова геометрия составляет лишь часть математики. С начала XVIII в. гораздо более обширной стала часть математики, посвященная свойствам чисел. Но как же развивалось логическое понятие числа?
В Древнем Египте и Вавилоне уже были хорошо знакомы с целыми числами, дробями и даже с такими иррациональными числами, как 2 или 3. Для практических приложений иррациональные числа аппроксимировали рациональными. Но поскольку математика в Древнем Египте, Вавилоне и даже вплоть до IV в. до н.э. в Древней Греции строилась на интуитивной или эмпирической основе, как восхищение ее логической структурой, так и ее критика были в равной степени беспредметны.
Первое известное нам логически последовательное изложение теории целых чисел содержится в VII, VIII и IX книгах «Начал» Евклида. В них Евклид предлагает, например,
В логическом развитии теории чисел древние греки столкнулись с трудностью, оказавшейся для них непреодолимой. Как известно, пифагорейцы в V в. до н.э. первыми подчеркнули важность целых чисел и отношений целых чисел для изучения природы. Более того, именно в целых числах и их отношениях пифагорейцы видели «меру» всего. Когда же обнаружилось, что некоторые отношения, например отношение гипотенузы равнобедренного прямоугольного треугольника к катету, непредставимы в виде отношения целых чисел, это и удивило, и обеспокоило пифагорейцов. Отношения, представимые в виде отношений целых чисел, пифагорейцы назвали соизмеримыми,а отношения, непредставимые в виде отношений целых чисел, получили название несоизмеримых.Так, иррациональное число 2 может служить примером несоизмеримого отношения. Открытие несоизмеримых соотношений легенда приписывает Гиппазию из Метапонта (V в. до н.э.). По преданию, в тот момент, когда Гиппазий пришел к этому открытию, пифагорейцы находились в открытом море — и они выбросили Гиппазия за борт, обвинив его в том, что он привнес в мироздание элемент, противоречивший пифагорейскому учению о сводимости всех явлений природы к целым числам или к их отношениям.
Доказательство того, что число 2 несоизмеримо с 1, т.е. иррационально, было предложено пифагорейцами. По Аристотелю, они доказали иррациональность 2 методом от противного (reductio ad absurdum),иначе говоря, избрали косвенный метод доказательства. Пифагорейцы показали, что если гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника была бы соизмерима с катетом, то одно и то же число должно было бы быть и четным, и нечетным, что невозможно. Доказательство проводилось следующим образом. Предположим, говорили пифагорейцы, что отношение гипотенузы к катету представимо в виде a/b,где aи b— взаимно-простые целые числа (т.е. предполагается, что общие множители, которые первоначально могли входить в числа aи b,уже сокращены). Если a/b = 2,то a 2= 2b 2. Так как a 2— четное число, aтакже четно, поскольку квадрат любого нечетного числа нечетен. {62} Так как числитель и знаменатель отношения a/bне имеют общих делителей и aчетно, число bдолжно быть нечетно. Число aкак четное представимо в виде a = 2c,поэтому a 2= 4c 2,а так как а 2= 2b 2,то 4c 2= 2b 2,или 2c 2= b 2.Следовательно, b 2— четное число. Но тогда bтакже четное число, поскольку если бы оно было нечетным, то и квадрат его был бы нечетным. Но по доказанному ранее b— нечетное число; таким образом, мы приходим к противоречию.
62
Любое нечетное число представимо в виде 2n + 1,где n— некоторое целое число. Квадрат нечетного числа (2n + 1) 2= 4n 2+ 4n + 1 = 2(2n 2+ 2n) + 1— нечетное число.
Пифагорейцы и древнегреческие мыслители классического периода, как правило, не принимали иррациональных чисел, ибо в их понимании иррациональные числа не были числами. Действительно, предложенное пифагорейцами доказательство говорит, что число 2 непредставимо в виде отношения целых чисел, но умалчивает о том, что такое иррациональное число. Жители Древнего Вавилона, как уже отмечалось, умели работать с иррациональными числами, но они, безусловно, не знали, что используемые ими десятичные (точнее, шестидесятеричные) приближения таких чисел не могут быть абсолютно точными. Мы можем восхищаться жизнелюбием древних вавилонян, но математиками они были неважными. Совсем иной склад ума был у древних греков: они не могли довольствоваться приближениями.
Открытие иррациональных чисел поставило проблему, ставшую центральной для древнегреческой математики. Платон в своих «Законах» призывал к познанию несоизмеримых величин. Решение проблемы предложил Евдокс, некогда бывший учеником Платона: понятие величины надлежит трактовать геометрически. Длины, углы, площади и объемы, величины которых — если их выразить численно — могли оказаться иррациональными, следовало представлять геометрически. Именно так формулирует Евклид теорему Пифагора: квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равен сумме квадратов, построенных на обоих катетах. Под суммой квадратов Евклид понимает, что суммарная площадь фигуры, составленной из двух квадратов, построенных на катетах, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе. Обращение за помощью к геометрии здесь вполне понятно. Если числа 1 и 2 рассматривать как длины, т.е. как отрезки прямых, то принципиальное различие между 1 и 2 сглаживается и почти перестает быть заметным.
Проблема, возникшая в связи с появлением иррациональных чисел, была шире, чем проблема численного представления длин, площадей и объемов, так как корни квадратных уравнений, например уравнения x 2– 2 = 0,вполне могли быть иррациональными числами. Греки классического периода решали такие уравнения геометрически, т.е. представляли их корни в виде отрезков, тем самым избегая необходимости обращаться к иррациональным числам. Так, если у вавилонян существовала формуладля решения квадратного уравнения, то у греков сходную роль играло построениеотрезка x,удовлетворяющего, скажем, уравнению х 2+ ax = b 2.Это направление в развитии математики получило название геометрической алгебры.Таким образом, «Начала» Евклида — трактат не только по геометрии, но и по алгебре.
Превращение всей математики, за исключением разве лишь теории целых чисел, в геометрию привело к нескольким важным последствиям. Прежде всего оно усилило разрыв между теорией чисел и геометрией, ибо несоизмеримые величины целиком подлежали юрисдикции геометрии — арифметике (теории чисел) они были, так сказать, «неподсудны». Со времен Евклида между теорией чисел и геометрией приходилось проводить резкую границу. {63} А поскольку геометрия охватывала значительную часть математики, именно она и стала (по крайней мере до XVII в.) основой почти всей «строгой» математики. Мы до сих пор называем x 2«икс квадратом», x 3— «икс кубом», а не xсоответственно во второй и в третьей степени, потому что некогда под x 2и x 3понимался лишь геометрический смысл этих величин.
63
Своеобразным отражением этого является, в частности, тот факт, что в «Началах» так называемый алгоритм Евклидав одинаковых выражениях описывается два раза: один раз — для чисел и второй раз — для отрезков.
Разумеется, геометрическое представление чисел и операций над ними не очень подходило для практических целей. Логически вполне удовлетворительно представлять произведение 2•3 как площадь прямоугольника. Но если требуется вычислить это произведение, то такого представления явно недостаточно. В естествознании и технике геометрические фигуры значительно менее полезны, чем численный ответ, полученный с требуемой точностью. В приложениях математики и в технике интерес представляют главным образом количественные результаты. Судоводителю в открытом море необходимо знать местоположение судна — численные значения его координат в градусах широты и долготы. Чтобы строить прочные и надежные здания, мосты, суда и плотины, также необходимо знать количественные меры длин, площадей и объемов деталей каждого сооружения. Более того, количественные характеристики, размеры, деталей сооружения необходимо знать заранее, до того как начнется постройка. Но греки классического периода, превыше всего ценившие строгие рассуждения и с пренебрежением относившиеся к приложениям математики в торговых расчетах, навигации, строительстве и составлении календарей, были удовлетворены полученным геометрическим решением проблемы иррациональных чисел.
На смену греческой цивилизации эпохи высокой классики (афинский период) около III в. до н.э. пришла эпоха эллинизма (александрийский период), сложившаяся в результате слияния классической греческой культуры с культурами Египта и Вавилона (гл. I). С точки зрения логики математика александрийского периода представляла собой любопытное смешение дедуктивных и эмпирических подходов. Наиболее выдающиеся математики александрийской эпохи Архимед и Аполлоний следовали образцу аксиоматической, дедуктивной геометрии «Начал» Евклида. Даже в своих трудах по механике Архимед начинал с аксиом и доказывал теоремы, став предтечей Ньютона и его последователей, создавших «математическую физику». Но под влиянием более прагматичных египтян и вавилонян александрийцы начали использовать математику и для удовлетворения запросов практики. В Александрии были выведены формулы, позволяющие вычислять количественные меры длин, площадей и объемов. Так, Герон (I в.) в своем сочинении «Метрика» привел формулу для вычисления площади Sтреугольника. {64}
64
Возможно, эту формулу знал еще Архимед. — Ред.