Математика. Утрата определенности.
Шрифт:
Гаусс считал носителем истины арифметику и, следовательно, основанные на арифметике алгебру и математический анализ (дифференциальное и интегральное исчисление и высшие разделы анализа), так как арифметические истины легко постигаются нашим разумом.
Мысль о том, что евклидова геометрия — это геометрия реального пространства, т.е. абсолютная истина о пространстве, настолько глубоко вошла в сознание людей, что любые идеи противоположного толка, в частности идеи Гаусса, на протяжении многих лет отвергались. Математик Георг Кантор говорил о законе сохранения невежества. Не так-то легко опровергнуть любое неверное заключение, коль скоро к нему пришли и оно получило достаточно широкое распространение, причем чем менее оно понятно, тем более упорно его придерживаются. На протяжении почти тридцати лет после выхода в свет работ Н.И. Лобачевского и Я. Бойаи математики, за редкими исключениями, игнорировали неевклидовы геометрии: их считали своего рода курьезом. Некоторые математики не отрицали, что неевклидовы геометрии логически непротиворечивы; другие же были убеждены, что
54
Хорошо известно, как страдал Лобачевский от непризнания его работ в официальных кругах, в частности в Российской академии наук; не получил никакого признания и AppendixЯ. Бойаи. Характерно также, что еще в 1869-1870 гг. видный французский математик, академик Жозеф Бертран (1822-1900) печатал в «Докладах» Парижской академии наук свои «опровержения» неевклидовой геометрии, к которым он относился с полной серьезностью.
Однако математики забыли о боге — и всемогущий геометр не стал открывать им, какой из нескольких конкурирующих геометрий он руководствовался при сотворении мира. Математикам не оставалось ничего другого, как попытаться установить истинную геометрию мира своими силами. Но вот после смерти Гаусса в 1858 г., когда его репутация была необычайно высокой, становятся известными материалы, обнаруженные среди бумаг «короля математиков», а опубликованная в 1868 г. лекция Римана (1854) убеждает многих математиков в том, что и неевклидова геометрия может быть геометрией физического пространства и что любые априорные утверждения о том, какая из геометрий является истинной, лишены всяких оснований. Уже одно то, что появились несколько противоречащих друг другу геометрий, само по себе было ударом. Еще более сильный шок вызвала полная невозможность указать, какая из геометрий истинна, и даже установить, истинна ли хоть какая-нибудь одна из них. Стало ясно, что математики сформулировали казавшиеся им правильными аксиомы геометрии, руководствуясь своим весьма ограниченным опытом, и ошибочно сочли эти аксиомы самоочевидными истинами. Математики оказались в положении, о котором можно сказать словами Марка Твена: «Человек — животное религиозное. Только обретя сразу несколько религий, он приобщился к истинной религии».
Постепенно математики приняли неевклидову геометрию и вытекавшие из ее существования выводы о границах истинности геометрии; однако это произошло отнюдь не потому, что кому-то удалось каким-то образом подкрепить аргументы в пользу применимости неевклидовой геометрии к физическому пространству. Скорее всего неевклидова геометрия была принята по той простой причине, о которой на заре XX в. говорил создатель квантовой механики Макс Планк: «Новая научная истина побеждает не потому, что ее противники убеждаются в ее правильности и прозревают, а лишь по той причине, что противники постепенно вымирают, а новое поколение усваивает эту истину буквально с молоком матери».
В вопросе об истинности всей математики в целом некоторые математики встали на сторону Гаусса. Они считали, что истина кроется в числах, составляющих основу арифметики, алгебры, дифференциального и интегрального исчисления, а также высших разделов математического анализа. Карлу Густаву Якоби (1804-1850) принадлежит высказывание: «Бог всегда арифметизует». {55} В отличие от Платона Якоби не считал, что бог вечно геометризует.
То, что математикам удалось отвести смертельную опасность, приняв за абсолютную истину разделы математики, основанные на понятии числа, по-видимому, имело в середине XIX в. несравненно более далеко идущие последствия и было более жизненно важным для науки, чем существование нескольких геометрий. К сожалению, математике предстояло пережить новые потрясения. И чтобы разобраться в их истоках, нам придется вернуться немного назад.
55
Типичная для 2-й половины XX в. «арифметизация математики», попытка построить все математические дисциплины на, казалось бы, незыблемом фундаменте арифметики, обычно связывается с главой берлинской математической школы Карлом Вейерштрассом (1815-1897) и другими берлинскими математиками [Леопольдом Кронекером (1823-1891), Георгом Фробениусом (1849-1917), Эрнстом Куммером (1810-1893) и др.].
Понятие вектораматематики широко использовали начиная с XVI в. {56} Вектор, обычно изображаемый в виде направленного отрезка, обладает направлением и величиной (рис. 4.5). Он используется для описания таких физических величин, как сила, скорость и другие, которые характеризуются величиной и направлением. Векторы, лежащие в одной плоскости, можно комбинировать геометрически, производя над ними обычные операции сложения и вычитания и получая некий результирующий вектор.
56
И даже ранее: векторный характер перемещений, скоростей, сил был по существу знаком еще античным ученым; само это представление, как и «правило параллелограмма» сложения векторов, сложилось еще в школе Аристотеля; широко использовал это представление и Архимед.
Рис. 4.5.Вектор.
В том же XVI в. в математике появились комплексные числа, т.е. числа вида а + bi, где i = -1, а аи b— вещественные числа. Даже математики считали комплексные числа весьма загадочными. Поэтому, когда около 1800 г. несколько математиков [Каспар Вессель (1745-1818), Жан Робер Арган (1786-1822) и Гаусс] поняли, что комплексным числам можно сопоставить направленные отрезки на плоскости (рис. 4.6), их открытие стало подлинной сенсацией. Эти математики сразу же осознали, что комплексные числа можно использовать не только для представления векторов на плоскости, но и для выполнения операций сложения, вычитания, умножения и деления векторов.
Рис. 4.6.Геометрическое представление комплексных чисел.
Иначе говоря, комплексные числа позволяют представить векторную алгебру, подобно тому как целые и дробные числа позволяют представить, например, коммерческую сделку. Следовательно, вместо того чтобы производить операции над векторами геометрически, их можно осуществлять алгебраически. Так, сложение двух векторов OAи OB(рис. 4.7) по правилу параллелограмма приводит к сумме, или результирующему вектору ОС.Ту же операцию можно выполнить алгебраически, представив вектор OAкомплексным числом 3 + 2i,а вектор OB— комплексным числом 2 + 4i.Сумма этих комплексных чисел (комплексное число 5 + 6i) соответствует результирующему вектору ОС.
Рис. 4.7.Сложение комплексных чисел по правилу параллелограмма.
К 30-м годам XIX в. идея использования комплексных чисел для представления векторов на плоскости и выполнения операций над ними получила достаточно широкое распространение. Но если на тело действуют несколько сил, то эти силы и представляющие их векторы не обязательно должны лежать в одной и той же плоскости — и даже обычно не лежат в ней. Условимся для удобства называть обычные вещественные числа одномерными, а комплексные — двумерными.Тогда для представления пространственных векторов и выполнения операций над ними было бы естественно ввести «трехмерные» числа. Как и в случае комплексных чисел, допустимые операции над трехмерными числами должны были бы включать сложение, вычитание, умножение и деление. Для того, чтобы над этими числами можно было беспрепятственно и эффективно производить алгебраические операции, они должны обладать обычными свойствами вещественных и комплексных чисел. Так, математики принялись за поиски «трехмерных комплексных чисел».
Над решением этой проблемы бились многие. Полезный пространственный аналог комплексных чисел предложил в 1843 г. Уильям Роуан Гамильтон. Пятнадцать лет он непрестанно размышлял над этой проблемой. Умножение всех известных к тому времени чисел обладало свойством коммутативности,т.е. всегда было ab = ba, —и Гамильтон вполне естественно полагал, что трехмерные, или трехкомпонентные, числа также должны обладать этим свойством, равно как и другими свойствами вещественных и комплексных чисел. Гамильтону удалось добиться успеха лишь ценой двух компромиссов: во-первых, его новые числа обладали четырьмя компонентами, а не тремя, как ему первоначально хотелось, и, во-вторых, ему пришлось пожертвовать свойством коммутативности умножения (сохранив, однако, ассоциативность:для любых трех кватернионов p, qи rвсегда (pq)r = p(qr)). Оба необычных свойства введенных Гамильтоном чисел произвели подлинный переворот в алгебре. Гамильтон назвал найденные им новые числа кватернионами.
Если комплексное число представимо в виде а + bi, где i = -1, то кватернион — это число, представимое в виде
a + bi + cj + dk,
где i, jи kобладают таким же свойством, как и – 1, т.е.
i 2 = j 2= k 2= -1.