Математика. Утрата определенности.

Клайн Морис

Выполнить эту задачу взялся один из наиболее чтимых и глубоких философов всех времен — Иммануил Кант. Но при внимательном рассмотрении выяснилось, что итог его размышлений лишь немного более утешителен, чем философия Юма. В «Пролегоменах ко всякой будущей метафизике, могущей появиться как наука» (1783), Кант, казалось, встал на сторону математиков и естествоиспытателей:

Мы можем с достоверностью сказать, что некоторые чистые априорные синтетические познания имеются и нам даны, а именно чистая математикаи чистое естествознание,потому что оба содержат положения, частью аподиктически достоверные на основе одного только разума, частью же на основе общего согласия из опыта и тем не менее повсеместно признанные независимыми от опыта.

([18], т. 4, ч. 1, с. 89.)

«Критика чистого разума» (1781) Канта начинается еще более обнадеживающими словами. Кант утверждает,

что все аксиомы и теоремы математики истинны. Но почему, спрашивает Кант, мы так охотно принимаем эти истины? Ясно, что опыт сам по себе не делает математические утверждения истинными. На интересующий нас вопрос можно было бы ответить, если бы мы знали ответ на более общий вопрос: возможна ли сама наука математика? На этот вопрос Кант ответил так: наш разум сам по себе владеет формами пространства и времени. Пространство и время представляют собой разновидности восприятия (Кант называл их интуитивными представлениями), посредством которых разум созерцает опыт. Мы воспринимаем, организуем и осознаем опыт в соответствии с этими формами созерцания. Опыт входит в них, как тесто в формочки для печенья. Разум накладывает формы созерцания на полученные им чувственные восприятия, вынуждая те подстраиваться под заложенные в нем схемы. Так как интуитивное представление о пространстве берет свое начало в разуме, некоторые свойства пространства разум воспринимает автоматически. Такие утверждения, как «прямая — кратчайший путь между двумя точками», «через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну», или как аксиома Евклида о параллельных, Кант называет априорными искусственными истинами. Они составляют неотъемлемую часть нашего умственного багажа. Геометрия занимается изучением лишь логических следствий из таких утверждений. Уже одно то, что наш разум созерцает опыт через изначально присущие ему «пространственные структуры», означает, что опыт согласуется с априорными синтетическими истинами и теоремами. Порядок и рациональность, которые мы, как нам кажется, воспринимаем во внешнем мире, в действительности проецируются на внешний мир нашим разумом и формами нашего мышления.

Конструируя пространство на основе работы клеток головного мозга человека, Кант не видел причин для отказа от евклидова пространства. Собственную неспособность представить другие геометрии Кант счел достаточным основанием, чтобы утверждать, что другие геометрии не могут существовать. Таким образом, нельзя утверждать, что законы евклидовой геометрии изначально присущи миру или что мир создан богом на основе евклидовой геометрии: законы евклидовой геометрии представляют собой лишь механизм, с помощью которого человекорганизует и рационализирует свои ощущения. Что же касается бога, то, по мнению Канта, природа божественного лежит за пределами рационального знания, хоть он и считал веру в бога обязательной. Глубина философских воззрений Канта, пожалуй, была превзойдена лишь ограниченностью его геометрических представлений. Прожив всю жизнь в Кенигсберге, в Восточной Пруссии, и не выезжая из него далее чем на шестьдесят километров, Кант тем не менее считал себя способным мысленно представить геометрию Вселенной. {42}

42

Не особенно эрудированному в области геометрии, но глубоко мыслящему Канту были впрочем, свойственны и глубоко нетривиальные прозрения. Так, в 1846 г. он писал, что трехмерность нашего пространства вытекает из характера закона всемирного тяготения Ньютона; это совершенно верно, но было строго доказано лишь много позже. Далее Кант утверждал, что из другого закона притяжения сил вытекала бы иная структура пространства, иное число измерений, причем если иные пространства возможны, то весьма вероятно, что бог их где-то действительно разместил.

А как обстояло дело с математическими законами естествознания? Так как весь наш опыт вкладывается в формы чистого созерцания — пространство и время, математика должна быть применима ко всякому опыту. В «Метафизических начальных основаниях естествознания» (1786) Кант признал законы Ньютона и следствия из них самоочевидными. По утверждению Канта, ему удалось доказать, что законы Ньютона выводятся на основании чистого разума и что они не более чем допущения, позволяющие понять природу. Ньютон, по словам Канта, «позволил нам составить ясное представление о структуре Вселенной, которая во все времена будет одной и той же».

В более общем плане рассуждения Канта сводились к следующему. Мир науки — это мир чувственных ощущений, упорядоченных и управляемых разумом в соответствии с такими врожденными категориями, как пространство, время, причина и следствие, субстанция. Разум содержит своего рода «ложа», на которые должны укладываться «гости» извне. Чувственные ощущения рождаются в реальном мире, но, к сожалению, этот мир непознаваем.Реальность может быть познана только в субъективных категориях, создаваемых воспринимающим ее разумом. Следовательно, к организации опыта нет иного пути, кроме евклидовой геометрии и ньютоновской механики. По мере возникновения новых наук опыт расширяется, но разум формулирует новые принципы, не обобщая новые опытные данные, а используя для их интерпретации ранее бездействующие «ложа». Способность разума созерцать раскрывается только в том случае, если ее питает опыт. Этим объясняется относительно позднее познание некоторых истин, например законов механики, по сравнению с другими истинами, известными на протяжении многих столетий.

Философия Канта, которую мы здесь едва затронули, воздавала хвалу человеческому разуму, но отводила ему роль инструмента познания не природы, а тайников человеческого ума. Опыт получил должное признание как необходимый элемент познания, так как ощущения, поступающие из внешнего мира, Кант считал сырым материалом, который упорядочивается и организуется разумом. Математика обрела свое место, став открывателем необходимых законов разума.

Представление о математике как о своде априорных истин было созвучно умонастроениям математиков. Но большинство из них не обратило внимания на то, каким образом Кант пришел к своим заключениям. По теории Канта, все утверждения математики не являются неотъемлемыми признаками физического мира, а создаются человеческим разумом. Такой вывод должен был бы насторожить математиков. Откуда известно, что разум всех людей устроен так, что организует ощущения совершенно одинаково и что организация пространственных ощущений непременно должна быть евклидовой? Какие мы имеем основания это утверждать? В отличие от Канта математики и физики продолжали верить во внешний мир, подчиняющийся законам, не зависящимот человеческого разума. Мир устроен рационально, считали они, и человек лишь раскрывает план, лежащий в основе мироздания, а далее, пользуясь этим планом, пытается предсказывать то, что происходит во внешнем мире.

Философия Канта и его авторитет раскрепостили и одновременно ограничили научно-философскую мысль. Подчеркивая силу разума как организующего начала в упорядочении чувственного опыта о мире, который нам не дано узнать доподлинно, Кант проложил путь к новым представлениям, в корне противоположным тем, которые в его время считались твердо установленными. Но упорно подчеркивая, что наш разум с необходимостью организует пространственные ощущения в соответствии с законами евклидовой геометрии, Кант тем самым тормозил формирование иных взглядов. {43} Если бы Кант с большим вниманием следил за тем, как развивались события в современной ему математике, то, возможно, он не стал бы настаивать на том, что упорядочивание пространственных ощущений по образу и подобию евклидовой геометрии является единственным, которое может допустить наш разум.

43

Понятия пространства, времении геометрииКант считал априорными, заранее вложенными в наш разум и не подлежащими критике или замене какими-либо иными представлениями; высокий авторитет Канта закрепил эти ложные установки. Весьма вероятно, что именно нежелание вступать в конфликт с позицией столь высокочтимого в Германии философа побудили Гаусса не только воздержаться от публикация своих открытий в области неевклидовой геометрии, но и категорически запретить знающим об этом друзьям рассказывать кому-либо об его истинных воззрениях.

Безразличие к богу и даже лишение его роли творца законов мироздания, а также кантианские взгляды на эти законы как якобы присущие самой природе человеческого разума «вызвали реакцию» со стороны творца всего сущего. Бог решил наказать кантианцев, и особенно этих самодовольных, погрязших в гордыне и чрезмерно самоуверенных математиков, и «подбросил» им неевклидову геометрию, возникновение которой нанесло сокрушительный удар по достижениям человеческого разума, всемогущего и, казалось бы, не нуждающегося ни в чьей помощи.

Хотя к началу XIX в. роль бога становилась все менее ощутимой и некоторые радикально настроенные философы, например Юм, отрицали все истины, математики того времени по-прежнему продолжали верить в истинность собственно математики и математических законов природы. Евклидова геометрия была наиболее почитаемым разделом математики не только потому, что именно с нее началось дедуктивное построение математических дисциплин, но и по той причине, что ее теоремы, как было установлено на протяжении более двух тысячелетий, полностью соответствовали результатам физических исследований. И именно евклидову геометрию «бог» избрал объектом нападения.

Одна из аксиом евклидовой геометрии издавна беспокоила математиков, однако совсем не потому, что они сомневались в ее истинности. Сомнения вызывала у них лишь формулировка аксиомы. Мы имеем в виду аксиому о параллельных, или, как ее часто называют, пятый постулат Евклида. Сам Евклид сформулировал пятый постулат следующим образом:

Если прямая, падающая на две прямые [рис. 4.1], образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные эти две прямые неограниченно встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.

([25], книги I-VI, с. 15.)