Математика. Утрата определенности.
Шрифт:
Всю свою жизнь Лаплас посвятил астрономии, и, какой бы областью математики он ни занимался, его прежде всего интересовало применение полученных результатов к астрономии. Рассказывают, будто в своих рукописях Лаплас нередко опускал трудные этапы доказательств, заменяя их кратким замечанием: «Нетрудно видеть, что…» Одно не вызывает сомнения в этих рассказах: Лапласу действительно было не до детальной отделки доказательств, он торопился поскорее перейти к астрономическим приложениям. Многочисленные фундаментальные результаты, полученные Лапласом в математике, были не более чем побочными продуктами его титанической деятельности в области естествознания. Дальнейшим развитием их занимались другие.
Не менее драматична и широкоизвестная история открытия Нептуна. Хотя Нептун был открыт в 1846 г., в основе его открытия лежали достижения математики XVIII в. В 1781 г. Уильям Гершель с помощью нового мощного телескопа
Помимо астрономии математизации еще во времена греков подверглась оптика. Изобретение в начале XVII в. микроскопа и телескопа очень стимулировало интерес к оптике, и, подобно ученым древней Греции, ни один математик XVII-XVIII в. не обошел оптику своим вниманием. Как мы уже упоминали, Снеллиусу и Декарту удалось открыть в XVIII в. то, что тщетно пытался сделать Птолемей, — закон преломления света; они ответили на вопрос, как ведет себя свет, распространяясь в среде с резко изменяющимися свойствами, например при переходе из воздуха в воду. Оле Рёмер (1644-1710) обнаружил, что свет распространяется с конечной скоростью. Интерес к оптике значительно возрос после того, как Ньютон установил, что белый свет представляет собой смесь всех цветов — от красного до фиолетового. Выход в свет ньютоновской «Оптики» (1704) во многом способствовал прогрессу этой науки и усовершенствованию микроскопов и телескопов. Важнейшим инструментом исследования и на этот раз явилась математика. Оптические исследования продолжали интенсивно развиваться и в XVIII в. Новой значительной вехой в становлении оптики как науки стало трехтомное сочинение Эйлера.
Физическая природа света оставалась по-прежнему неясной. В то время как Ньютон считал, что свет представляет собой движение частиц (корпускул), а Гюйгенс говорил о волновом движении (хотя у него этот термин вряд ли означал волны), Эйлер первым подошел к анализу световых колебаний с позиций математики и вывел уравнения движения. Отстаивая волновую природу света, Эйлер был единственным ученым XVIII в., осмелившимся выступить против ньютоновской корпускулярной теорий света. Правильность взглядов Эйлера получила в начале XIX в. подтверждение в трудах Огюстена Жана Френеля и Томаса Юнга. Но природа света по-прежнему оставалась невыясненной, и основную надежду оптики продолжали возлагать на математические законы. До возникновения принятой ныне электромагнитной теории света должно было пройти еще полвека.
В XVIII в. перед естествоиспытателями открылись новые области исследований, и в некоторых из них им удалось достичь по крайней мере частичных успехов. Одной из новых областей физики стало математическое описание и анализ музыкальных звуков — акустика. Этот раздел физики имеет довольно длинную историю. Акустика началась с исследования звуков, издаваемых колеблющейся (скрипичной) струной. Свое веское слово о законах колебания струны сказали Даниил Бернулли, Д'Аламбер, Эйлер и Лагранж, существенно расходившиеся во мнениях по некоторым вопросам математического анализа. {34} И хотя спор удалось разрешить лишь в начале XIX в., после появления трудов Жана Батиста Жозефа Фурье (1768-1830), тем не менее и в XVIII в. был достигнут колоссальный прогресс. Наши современные представления о том, что каждый музыкальный звук состоит из основного тона (первой гармоники) и обертонов (высших гармоник) с частотами, равными целым кратным частоты первой гармоники, созданы трудами великих ученых XVIII в. Такое представление о звуке лежит в основе разработки всей современной звукозаписывающей и передающей аппаратуры: телефона, фонографа, радио и телевидения.
34
Оживленная дискуссия между Д. Бернулли, Эйлером и Д'Аламбером по поводу исследования колебаний струны (в которой каждый из этих трех выдающихся ученых был несогласен с двумя другими) связана с тем, что в XVIII в. не было еще полной ясности относительно определения понятия функции: дискуссия весьма способствовала внесению ясности в этот важный вопрос.
С XVIII в. берет начало еще одна область математической физики — гидродинамика,занимающаяся изучением течений жидкостей и газов, а также изучением движения тел в жидкости. Еще Ньютон рассмотрел и решил задачу о форме, которую должно иметь тело, чтобы при движении в жидкости оно испытывало наименьшее сопротивление. Классическим трудом в этой области математической физики по праву считается «Гидродинамика» Даниила Бернулли (1738). В этой работе Бернулли, в частности, отметил, что гидродинамику можно было бы использовать для описания тока крови по артериям и венам человеческого тела. Вслед за сочинением Бернулли вышел в свет основополагающий труд Эйлера (1755), в котором он вывел уравнения движения несжимаемой жидкости. В этой работе Эйлер писал:
Если нам не дано достичь полного знания о движении жидкости, то причину неудачи надлежит приписывать не механике и не недостаточности известных законов движения. Нам недостает [математического] анализа, поскольку вся теория движения жидкости теперь свелась к исследованию аналитических формул.
В действительности гидродинамика в том виде, в каком ее рассматривал Эйлер, была существенно неполной, и за последующие семьдесят лет в нее было внесено немало поправок и дополнений. Так, например, Эйлер полностью пренебрегал вязкостью.(Вода течет быстро и может считаться невязкой жидкостью, тогда как, скажем, масло течет медленно и обладает заметной вязкостью. {35} ) Тем не менее мы можем с полным правом утверждать, что именно Эйлер стал основателем гидродинамики, применимой к движению судов и самолетов.
35
Ясно, что создатели гидродинамики Эйлер и Д'Аламбер ничего не знали о так называемых турбулентныхтечениях с нерегулярным, случайным характером движения отдельных частиц жидкости (для создания теории таких течений тогда еще не существовало подходящего математического аппарата); игнорирование этого обстоятельства приводило их даже к некоторым парадоксам, в то время неразрешимым.
Если ученые XVIII в. нуждались в дополнительном подтверждении того, что мир основан на математических принципах и устроен наилучшим образом и что все творения природы созданы по замыслу единого архитектора — господа бога, то они обрели это подтверждение в одном математическом открытии. Герон (гл. I) доказал, что свет, двигаясь из точки Pв точку Qи отражаясь в зеркале, распространяется по кратчайшему пути. Так как скорость света при этом постоянна, то кратчайший путь означает и кратчайшее время распространения света.
Один из величайших математиков XVIII в. Пьер Ферма (1601-1665), опираясь на весьма скудные экспериментальные данные, сформулировал принцип наименьшего времени: свет, идущий из одной точки в другую, распространяется по такому пути, на преодоление которого уходит наименьшее время.Очевидно, что таким сотворил свет господь бог, наделив его способностью не только неукоснительно следовать математическим законам, но и распространяться по пути, требующему минимальных затрат времени. Ферма окончательно уверовал в правильность своего принципа, когда ему удалось вывести из него закон преломления света, открытый ранее Снеллиусом и Декартом.
К началу XVIII в. математики располагали уже несколькими впечатляющими примерами того, как природа пытается «максимизировать» или «минимизировать» те или иные важные характеристики физических процессов. Христиан Гюйгенс, первоначально возражавший против принципа Ферма, доказал, что тот же самый принцип верен и для света, распространяющегося в среде с непрерывно изменяющимися свойствами. Даже первый закон Ньютона, утверждающий, что всякое находящееся в состоянии движения тело, если на него не действуют никакие силы, движется по прямой, стали рассматривать как еще одно свидетельство «принципа экономии», выполняющегося в природе.