Математика. Утрата определенности.
Шрифт:
Рис. 4.1.Пятый постулат Евклида.
Иначе говоря, если углы 1и 2в сумме меньше 180°, то прямые аи b,продолженные достаточно далеко, пересекутся.
У Евклида были веские основания сформулировать аксиому о параллельных именно так, а не иначе. Он мог бы утверждать, например, что если сумма углов 1и 2равна 180°, то прямые аи bпараллельны. Но Евклид явно боялся предположить, что могут существовать бесконечныепрямые, которые никогда не пересекаются: любое утверждение о бесконечных прямых не подкреплялось опытом, в то время как аксиомы по определению
Математики считали, что аксиома о параллельных в том виде, как ее сформулировал Евклид, слишком сложна. Ей недоставало простоты других аксиом. Должно быть, и сам Евклид был недоволен своим вариантом аксиомы о параллельных, ибо обратился к ней, лишь доказав все теоремы, какие только смог вывести без ее использования.
Со временем стала жизненно важной сходная проблема, над которой поначалу задумывались лишь немногие. Она сводилась к вопросу о том, существуют ли в физическом пространстве бесконечные прямые. Евклид достаточно осторожно постулировал лишь, что конечный отрезок прямой можно продолжить сколь угодно далеко, — но ведь даже и продолженный отрезок все равно оставался конечным. Тем не менее из рассуждений Евклида следовало, что бесконечные прямые существуют: если бы прямые были конечными, то их нельзя было бы продолжать сколь угодно далеко.
Первые попытки решить проблему, связанную с аксиомой Евклида о параллельных, были предприняты еще математиками Древней Греции. Эти попытки имели двоякую природу. Одни из них сводились к замене аксиомы о параллельных какой-нибудь более очевидной аксиомой. Другие были направлены на то, чтобы вывести аксиому о параллельных из девяти остальных аксиом Евклида: если бы удалось доказать, что пятый постулат Евклида в действительности представляет собой теорему, то все трудности отпали бы сами собой. На протяжении более двух тысячелетий многие десятки крупнейших математиков, не говоря уже о математиках меньшего ранга, безуспешно пытались решить проблему параллельных, предпринимая бессчетные попытки как первого, так и второго рода. История этой проблемы уходит корнями в глубокую древность и изобилует деталями, понятными лишь профессионалу. Мы опустим здесь ее потому, что ей посвящена обширная литература {44} , и, кроме того, этот вопрос не имеет прямого отношения к интересующей нас теме.
44
Истории проблематики, связанной с пятым постулатом Евклида, посвящена, в частности, книга Роберто Бонолы «Неевклидова геометрия», впервые вышедшая в 1906 г. на итальянском языке. Английский перевод: Bonola R. Non-euclidean geometry. — N.Y. Dover Publ., 1955 ([26]; см. также [27]).
Из многих аксиом, предлагавшихся в качестве замены пятого постулата, упомянем лишь об одной. Ее и поныне приводят в некоторых учебниках геометрии. Этот вариант аксиомы о параллельных принадлежит Джону Плейферу (1748-1819), предложившему ее в 1795 г. (в английском «школьном» варианте «Начал» Евклида). Аксиома Плейфера гласит: существует одна и только одна прямая, проходящая через данную точку P,лежащую вне прямой l(рис. 4.2), в плоскости, задаваемой точкой Pи прямой l, которая не пересекается с прямой l.
Рис. 4.2.Вариант аксиомы о параллельных, предложенный Джоном Плейфером.
Все аксиомы, предлагавшиеся вместо пятого постулата, на первый взгляд казались проще аксиомы Евклида, но при более внимательном рассмотрении оказывались не более удовлетворительными. Многие из них, в том числе и аксиома Плейфера, содержали утверждения, касающиеся не ограниченной части плоскости или пространства, а всего (бесконечного!) пространства. С другой стороны, аксиомы, предлагавшиеся взамен пятого постулата, которые не содержали прямого упоминания о «бесконечности» — например, аксиома о том, что существует два подобных, но не равных треугольника, — были слишком сложными и, во всяком случае, не были более предпочтительными, чем аксиома о параллельных, приведенная в «Началах» Евклида.
Вместе с тем были предприняты попытки решить проблему параллельных, доказав пятый постулат Евклида, исходя из остальных девяти аксиом. Наиболее значительные результаты здесь получил Джироламо Саккери (1667-1733), священник, член ордена иезуитов и профессор университета в Павии. Идея Саккери состояла в том, чтобы, заменив аксиому Евклида о параллельных ее отрицанием, попытаться вывести теорему, которая бы противоречила одной из доказанных Евклидом теорем. Полученное противоречие означало бы, что аксиома, отрицающая аксиому Евклида о параллельных — единственную аксиому, вызывавшую сомнения, — ложна, а следовательно, аксиома о параллельных Евклида истинна и является следствием девяти остальных аксиом.
Приняв за исходную аксиому Плейфера, эквивалентную аксиоме Евклида о параллельных, Саккери сначала предположил {45} , что через точку P,лежащую вне прямой l(рис. 4.3), не проходит ни одна прямая, параллельная прямой l. Из этой аксиомы и девяти остальных аксиом, принятых Евклидом, Саккери вывел противоречие. Затем Саккери испробовал вторую и единственно возможную альтернативу, предположив, что через точку Pпроходят по крайней мере две прямые pи q,не пересекающиеся с прямой l, сколько бы их ни продолжали.
45
Приводимое ниже описание воспроизводит схему рассуждений Саккери с небольшими изменениями. [В частности, за исходный пункт своих рассуждений Саккери — как позже и Ламберт — принял не аксиому Плейфера, а предположение, равносильное утверждению о равенстве суммы углов треугольника 180°; в опровержение этого предположения утверждалось, что сумма углов треугольника меньше (соответственно больше) 180°. — Ред.]
Рис. 4.3.Аксиома, принятая основоположниками неевклидовой геометрии (Саккери и др.).
Исходя из этой аксиомы, Саккери удалось доказать много интересных утверждений, пока он не дошел до теоремы, показавшейся ему настолько странной, что он счел ее противоречащей ранее полученным результатам. Решив, что ему удалось тем самым доказать выводимость пятого постулата Евклида из девяти остальных аксиом, Саккери выпустил книгу под многозначительным названием «Евклид, избавленный от всяких пятен» ( Euclides ab omni naevo vindicatus,1733). Однако впоследствии математики выяснили, что во втором случае Саккери в действительности не пришел к противоречию и что, следовательно, проблема параллельных по-прежнему остается открытой. Попытки найти подходящую замену евклидовой аксиоме о параллельных или доказать, что она следует из девяти остальных аксиом, были столь многочисленны и тщетны, что в 1759 г. Д'Аламбер назвал проблему параллельных «скандалом в области оснований геометрии».
Постепенно математики начали приходить к правильному пониманию статуса аксиомы Евклида о параллельных. В своей докторской диссертации 1763 г. Георг С. Клюгель (1739-1812), впоследствии профессор университета в Хельмштадте, отлично осведомленный и о книге Саккери, и о многих других попытках «исправить» аксиому о параллельных, высказал весьма ценное соображение о том, что принятие большинством людей аксиомы Евклида о параллельных как истины, не подлежащей сомнению, основано на опыте. Так впервые была явно сформулирована идея о том, что весомость аксиом определяется их соответствием опыту, а не самоочевидностью. {46} Клюгель выразил сомнение в том, что пятый постулат Евклида можно вывести из остальных аксиом. Более того, Клюгель понял, что Саккери пришел не к противоречию, а лишь к результатам, поразившим его своей необычностью.
46
Аналогичную мысль в свое время высказывал, правда мимоходом, и Ньютон, но на нее не обратили внимания.
Диссертация Клюгеля привлекла внимание одного из крупнейших математиков XVIII в. — Иоганна Генриха Ламберта (1728-1777), и тот также принялся размышлять над проблемой параллельных. В своей книге «Теория параллельных прямых» (написанной в 1766 г. и опубликованной в 1786 г.) Ламберт, подобно Саккери, рассмотрел две альтернативные возможности. И он также обнаружил, что гипотеза, согласно которой через точку Pвне прямой l(см. рис. 4.3 ) не проходит ни одна прямая, параллельная прямой l, приводит к противоречию. Но в отличие от Саккери Ламберт не считал, что альтернативная гипотеза (согласно которой через точку Pпроходят по крайней мере две прямые, параллельные прямой l) приводит к противоречию. Более того, Ламберт понял, что любой набор гипотез, который не приводит к противоречию, порождает некую геометрию. Такая геометрия логически непротиворечива, хотя и не имеет прямого отношения к реальным, физическим фигурам. {47}
47
Окончательного признания возможности неевклидовой геометрии у Ламберта все же не было; по-видимому, впервые решились на этот шаг упоминаемые ниже Ф.К. Швейкарт и его племянник Ф.А. Тауринус. Однако Ламберт высказал провидческую мысль о том, что неевклидова геометрия должна была бы выполняться на сфере мнимого радиуса, если бы такая сфера существовала; впоследствии эта, в то время казавшаяся бессодержательной, идея была реализована даже несколькими различными путями.