Математика. Утрата определенности.
Шрифт:
Работа Ламберта и некоторых других авторов, в частности учителя Гаусса, профессора Гёттингенского университета Абрахама Г. Кестнера (1719-1800), заслуживают особого упоминания. Эти ученые были убеждены, что пятый постулат Евклида невозможно доказать, исходя из девяти остальных его аксиом, т.е. утверждали, что аксиома о параллельных независима от остальных аксиом. Кроме того, Ламберт был убежден, что, приняв альтернативную аксиому, противоречащую аксиоме Евклида, можно построить логически непротиворечивую геометрию, хотя и не высказал каких-либо утверждений о применимости такой геометрии. Все трое — Клюгель, Ламберт и Кестнер — близко подошли к признанию возможности неевклидовой геометрии.
Самым выдающимся математиком среди тех, кто работал над решением проблемы, возникшей в связи с аксиомой Евклида о параллельных, был Гаусс. Он прекрасно знал о безуспешных попытках доказать или опровергнуть аксиому о параллельных, ибо такого рода сведения не составляли секрета для гёттингенских математиков. Историю проблемы параллельных досконально знал учитель Гаусса Кестнер. Много лет спустя (1831) Гаусс сообщил своему другу Шумахеру, что еще в 1792 г. (когда Гауссу было всего лишь 15 лет) он понял возможность существования логически непротиворечивой геометрии, в которой постулат Евклида о параллельных не выполняется. Но вплоть до 1799 г. Гаусс не прекращал попыток вывести постулат
Я лично далеко продвинулся в моих работах (хотя другие занятия, совершенно не связанные с этой темой, оставляют мне для этого мало времени). Однако дорога, которую я выбрал, ведет скорее не к желательной цели, а к тому, чтобы сделать сомнительной истинность геометрии. Правда, я достиг многого, что для большинства могло бы сойти за доказательство, но это не доказывает в моих глазах ровно ничего;например, если бы кто-либо мог доказать, что возможен такой прямоугольный треугольник, площадь которого больше любой заданной, то я был бы в состоянии строго доказать всю геометрию.
Большинство сочтет это за аксиому, я же нет. Так, могло бы быть, что площадь всегда будет ниже некоторого данного предела, сколь бы удаленными друг от друга в пространстве ни были предположены три вершины треугольника.
Примерно с 1813 г. Гаусс начал работать над своей неевклидовой геометрией, которую он называл сначала антиевклидовой,затем астральной(т.е. звездной— возможно, выполняющейся на далеких звездах; это название принадлежало Фердинанду Карлу Швейкарту (1780-1859), независимо от Гаусса пришедшему к тем же идеям) и, наконец, неевклидовой геометрией.Гаусс пришел к убеждению, что построенная им геометрия логически непротиворечива и применима к физическому миру.
В письме от 8 ноября 1824 г. к своему другу Францу Адольфу Тауринусу (1794-1874) Гаусс сообщал:
Допущение, что сумма углов треугольника меньше 180°, приводит к своеобразной, отличной от нашей [евклидовой] геометрии; эта геометрия совершенно последовательна; я развил ее для себя совершенно удовлетворительно… Предложения этой геометрии отчасти кажутся парадоксальными и непривычными человеку, даже несуразными; но при строгом и спокойном размышлении оказывается, что они не содержат ничего невозможного.
В письме к математику и астроному Фридриху Вильгельму Бесселю, отправленному 27 января 1829 г., Гаусс еще раз высказал убеждение, что постулат о параллельных не может быть выведен из других аксиом Евклида.
Мы не будем подробно рассматривать специфические особенности того варианта неевклидовой геометрии, который был создан Гауссом (см., например, [28], с. 193-294). Он не оставил полного дедуктивного изложения своей теории, а доказанные им теоремы во многом напоминали те, с которыми мы вскоре встретимся, когда перейдем к работам Лобачевского и Бойаи. В письме к Бесселю Гаусс признается, что вряд ли когда-нибудь опубликует свои открытия в этой области, опасаясь, как он выразился, вызвать крики беотийцев (беотийцы — древнегреческое племя, чья тупость вошла в поговорку). Не следует забывать, что в начале XIX в. лишь немногие математики постепенно подошли к заключительному этапу создания неевклидовой геометрии, а мыслящий мир в основном пребывал в уверенности, что евклидова геометрия — единственно возможная. То немногое, что нам известно о работах Гаусса по неевклидовой геометрии, собрано по крохам из его писем к друзьям, двух коротких заметок в G"ottingische gelehrte Anzeigenза 1816 г. и 1822 г. и из нескольких записей, датированных 1831 г., найденных среди бумаг Гаусса после его смерти.
Но более значительный вклад, чем Гаусс, в создание неевклидовой геометрии внесли два других математика: Н.И. Лобачевский и Я. Бойаи (Я. Больяй). В действительности их работы явились как бы эпилогом длительного развития новаторских идей, высказанных их предшественниками, однако, поскольку Лобачевский и Бойаи первыми опубликовали дедуктивные изложения новой системы, их принято считать создателями неевклидовой геометрии. Русский математик Николай Иванович Лобачевский (1792-1856) учился в Казанском университете, где впоследствии (1827-1846) он состоял профессором и ректором. Его взгляды на основании геометрии сложились к 1826 г., и он изложил их в цикле статей и двух книгах. Янош Бойаи (1802-1860), сын Фаркаша Бойаи, был офицером австро-венгерской армии. Свою работу (объемом в 26 страниц) по неевклидовой геометрии [29] под названием «Приложение, содержащее науку о пространстве, абсолютно истинную, не зависящую от истинности или ложности XI аксиомы Евклида, что a prioriникогда решено быть не может, с прибавлением, к случаю ложности, геометрической квадратуры круга» Бойаи опубликовал в качестве приложения к первому тому латинского сочинения своего отца «Опыт введения учащегося юношества в начала чистой математики» (Tentamen juventutem studiosam in elementa Matheoseos).Хотя эта книга вышла в 1831-1832 гг. {48} , т.е. после первых публикаций Лобачевского, вышедших в свет в 1829-1830 гг., Я. Бойаи, по-видимому, разработал свои идеи о неевклидовой геометрии уже в 1825 г. и убедился, что новая геометрия непротиворечива. В письме к отцу от 23 ноября 1823 г. Янош сообщает: «Я совершил столь чудесные открытия, что не могу прийти в себя от восторга».
48
Книга Tentamenвышла в свет в 1832 г., однако уже в 1831 г. Я. Бойаи имел на руках оттиски своего Приложения (Appendix)к книге, один из которых он сразу же отправил Гауссу. Впрочем, Гаусс не получил этой работы и ознакомился с ней, лишь прочитав экземпляр книги своего друга Фаркаша Бойаи.
Гаусс, Лобачевский и Бойаи поняли, что аксиома Евклида о параллельных не может быть доказана на основе девяти остальных аксиом и что для обоснования евклидовой геометрии необходимо принять какую-то дополнительную аксиому о параллельных. А поскольку дополнительная аксиома не зависит от остальных, то, во всяком случае, логически вполне допустимо принять противоположное ей утверждение — и далее выводить следствия из новой системы аксиом.
С чисто математической точки зрения содержание работ Гаусса, Лобачевского и Бойаи очень просто. Мы ограничимся здесь рассмотрением варианта неевклидовой геометрии, предложенного Лобачевским, так как все трое сделали по существу одно и то же. Лобачевский смело отверг аксиому Евклида о параллельных и принял допущение, высказанное еще Саккери. Пусть задана прямая AB и точка Pвне ее (рис. 4.4). Тогда все прямые, проходящие через точку P,распадаются по отношению к прямой ABна два класса: класс прямых, пересекающих AB,и класс прямых, которые ABне пересекают. К числу последних принадлежат две прямые pи q,разделяющие наши два класса прямых. Сказанному можно придать более точный смысл. Если P— точка, находящаяся от прямой ABна расстоянии а (а— длина перпендикуляра PD,опущенного из точки Pна прямую AB),то существует острый угол ,такой, что все прямые, составляющие с перпендикуляром PDугол, меньший ,пересекаются с прямой AB,а все прямые, составляющие с PDугол, больший или равный ,не пересекаются с AB.Две прямые pи q,образующие с PDугол ,называются параллельными по Лобачевскомупрямой AB,а угол = ((a))называется углом параллельности(отвечающим отрезку PD = a). Прямые, проходящие через точку P(отличные от параллельных прямых pи q) и не пересекающиеся с прямой AB,называются расходящимися с ABпрямыми (или сверхпараллельными ей;в евклидовой геометрии они были бы параллельны прямой AB). Если понимать параллелизм по Евклиду, т.е. называть параллельными любые две прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются между собой, то в геометрии Лобачевского через точку Pпроходит бесконечно много прямых, параллельных AB.
Рис. 4.4.Угол параллельности.
Затем Лобачевский доказывает несколько ключевых теорем. Если угол равен /2,то мы приходим к евклидовой аксиоме о параллельных. Если угол острый, то при неограниченном росте aон монотонно убывает и стремится к нулю. Сумма углов треугольника всегда меньше 180° и стремится к 180°, когда площадь треугольника неограниченно убывает. Два подобных треугольника, имеющих одинаковые углы, всегда конгруэнтны.
Ни один обширный раздел математики и даже ни один крупный математический результат никогда не были детищем лишь одного какого-либо человека. В лучшем случае кто-то один делал решающий шаг или высказывал ту или иную важную идею. Также и неевклидова геометрия развивалась совместными усилиями многих известных и неизвестных математиков. Если под неевклидовой геометриейпонимать вывод следствий из системы аксиом, содержащей опровержение евклидовой аксиомы о параллельных, то честь ее создания следует приписать Саккери, причем даже он использовал результаты многих своих предшественников, пытавшихся найти подходящую замену аксиоме Евклида. Если под неевклидовой геометрией понимать осознание возможности других геометрий, отличных от евклидовой, то пальму первенства в ее создании следует отдать Клюгелю и Ламберту. {49} Но самое важное утверждение о неевклидовой геометрии состоит в том, что она точно так же, как и евклидова геометрия, позволяет описывать свойства физического пространства.Геометрия физического пространства вовсе не обязательно должна быть евклидовой; более того, тот факт, что в физическом пространстве реализуется именно евклидова геометрия, нельзя гарантировать никакими априорными соображениями. {50} Осознание этого важного факта не требует никаких математических ухищрений, потому что все необходимое уже было сделано раньше, и первым, кто постиг эту истину, был Гаусс. {51}
49
Саккери твердо считал, что доказал 5-й постулат Евклида; поэтому его никак нельзя считать создателем неевклидовой геометрии. Клюгеля и Ламберта в том контексте, в каком упоминает их автор, уместнее заменить Швейкартом и Тауринусом (ср. прим. {47}); однако малочисленность их публикаций на эту тему, которую они вскоре оставили (Ф.К. Швейкарт вообще был по специальности юристом, а не математиком), делает сомнительным их приоритет в создании неевклидовой геометрии. Более основательна стандартная точка зрения, приписывающая это выдающееся открытие Лобачевскому [первый публичный доклад на эту тему (1826); первая публикация (1829-1830)], Бойаи (явно независимая от Лобачевского публикация 1831-1832 гг.) и Гауссу.
50
И даже никакими экспериментами тоже; утверждение о существовании одной или многих прямых, проходящих через точку P и не пересекающих AB,апеллирует к представлению о всем (бесконечном!) пространстве и потому непроверяемо; опыты же с измерением суммы углов треугольника в принципе могут помочь установить отличие этой суммы от 180°, но никогда — равенство 180°; ведь всегда можно опасаться, что полученное нами значение столь близко к 180° лишь потому, что выбранный треугольник слишком мал.
51
Лобачевский и Гаусс независимо осознали, что геометрия реального (физического) пространства может быть как евклидовой, так и неевклидовой. (Бойаи, заинтересованного в первую очередь в, так сказать, «логическом статусе» новой геометрии, эта постановка вопроса занимала меньше.)