Музыка сфер. Астрономия и математика

Рос Роза Мария

_s=0,38248 .

определяется на основе результатов наблюдений из точек A и B, находящихся на одном меридиане. Мы используем рисунок XVIII века, на котором изображена траектория Венеры, видимая из разных точек одного меридиана при транзите.

Рассчитать можно разными способами:

1. Простейший способ — непосредственное измерение по рисунку, приведённому на странице 159: достаточно рассмотреть отношение диаметра Солнца D на рисунке и угловой размер Солнца. Угловой размер Солнца равен 30 минутам дуги, выраженным в радианах. Имеем:

2. Также можно измерить хорды окружности на рисунке. Этот способ точнее, так как измерить длины хорд A₁A₂ и B₁B₂ всегда можно с большей точностью, чем расстояние между этими хордами A'B'.

Рисунок позволяет связать длины хорд A₁A₂и B₁B₂с расстоянием между ними, A'B'.

По теореме Пифагора для треугольников SB'B₁ и SA'X₁ получим

3. Вместо расстояний можно отсчитывать время. Достаточно рассмотреть соотношение

где t_A и t_B — время прохождения A₁A₂ и B₁B₂. Обозначив через t₀ гипотетическое время транзита по всему диску Солнца, через t' — время, соответствующее , установим соотношение:

Использовать временные интервалы вместо расстояний следует с осторожностью. Как показано на следующем рисунке, следует различать время внешнего касания (C₁ и C₄) и внутреннего касания (C₂ и С₃) Венеры с диском Солнца. Внутренние касания всегда можно определить точнее, несмотря на искажения, вносимые эффектом чёрной капли. По этой причине в расчётах учитываются только моменты внутреннего касания.

Наиболее точно можно определить моменты внутреннего касания C ₂ и C ₃ , поэтому именно они используются в расчётах.

На основании результатов наблюдений транзита Венеры 1769 года, полученных в Вардё и Папеэте, получим следующие значения (с учётом того, что расстояние AB по прямой равно 11425 км).

Расстояние от Земли до Солнца, равное 1 астрономической единице, вычисленное тремя описанными выше методами.

Можно видеть, что точность результатов достаточно высока, если принять во внимание простоту использованных методов. Сегодня расстояние от Земли до Солнца, определяемое как 1 астрономическая единица, принимается равным 149,6•10⁶км. Следует отметить, что точность второго результата, полученного методом измерения хорд, выше, так как измерить хорды можно с большей точностью, чем непосредственно . Последний метод, в котором учитывается время прохождения, представляет интерес, поскольку позволяет провести более чёткую аналогию с современными методами. Однако погрешность при этом выше, так как метод требует использования вспомогательной гипотезы, согласно которой скорость движения Венеры во время прохождения по диску Солнца постоянна в течение всего транзита.

Расстояние от Земли до Солнца, вычисленное в XVIII веке, заключалось на интервале от 145 до 155 млн километров. По результатам наблюдений за прохождением Венеры в XIX веке этот результат был улучшен, а максимальная точность была достигнута в 2000 году с помощью радара. Сегодня расстояние от Земли до Солнца принимается равным 149,597870691•10⁶км.

Глава 5. Определение часовых линий наклонных солнечных часов

Солнечные часы, как правило, устанавливаются на стенах зданий. Если стена здания не расположена точно вдоль линии восток-запад, часы обычно направлены в сторону горизонта, по которому движется Солнце в течение дня. Чтобы провести часовые линии на циферблате вертикальных неориентированных солнечных часов (они называются наклонными), нужно знать угол, под которым располагается стена. Далее мы объясним, как можно вычислить этот угол a — азимут стены. Пока что будем предполагать, что угол a известен.

Часовые линии в этом случае строятся так же, как и в других разновидностях солнечных часов, то есть путём проецирования часовых линий экваториальных, горизонтальных и вертикальных часов на плоскость циферблата наклонных часов, как показано на иллюстрации. Следует напомнить, что линия, указывающая полдень на циферблате любых вертикальных часов, совпадает с направлением отвеса, закреплённого в той же точке, что и гномон. Гномон наклонных часов, как и любых других солнечных часов, направлен вдоль оси вращения Земли.

Спроецировав часовые линии экваториальных солнечных часов на плоскость циферблата наклонных часов, получим, что ctg =sin a ctg Н sec ф – cos a tg ф. При Н=15°, следовательно, будет углом, под которым расположена часовая линия, указывающая 11 и 13 часов. При Н= 30° угол укажет расположение часовой линии 10 и 14 часов и так далее до линии 6 и 18 часов.

По теореме синусов для треугольника CFA имеем:

где sin(180-(а– ))=sin(a– ) с учётом того, что a и отсчитываются в противоположных направлениях. По формуле sin(a– )=sin a cos – cos a sin имеем: