Наука Плоского мира. Книга 2. Глобус
Шрифт:
78886090522101180541172856528278622
96732064351090230047702789306640625
(мы разбили это число на две строки, чтобы оно поместилось на ширине страницы), то есть состоит из 70 цифр. Кстати, компьютеру понадобилось около пяти секунд, чтобы получить это число, и примерно 4,999 из них потребовалось на ввод соответствующей команды. Остальное время занял вывод результата на экран. Так что теперь вы понимаете, почему комбинаторику называют искусством считать без фактических подсчетов. Если бы вы просто начали считать: 1, 2, 3, 4 …, то вы бы не скоро закончили. Так что ректору повезло, что он не был начальником парковки.
Насколько велико Б-пространство? Библиотекарь сказал, что оно бесконечно, и это утверждение истинно, если под бесконечностью вы подразумеваете
15
Посещение любого книжного магазина в аэропорту покажет вам, насколько это разумно.
Средняя книга содержит около 100 000 слов или 600 000 символов (букв и пробелов, знаки препинания учитывать не будем). В английском алфавите 26 букв плюс пробел, то есть 27 символов, которые занимают 600 000 возможных позиций. Принцип подсчета, который мы применили в задаче о парковке, свидетельствует о том, что максимальное количество букв с такими параметрами составит 27600000, а это, грубо говоря, 10860000 (или 860000-значное число). Разумеется, большинство этих «книг» будет иметь мало смысла, потому что мы не поставили условия, чтобы буквы складывались в понятные слова. Если допустить, что словарный запас книги будет составлять 10 000 слов, и попробовать посчитать способы расположения 100 000 слов, то книг останется 10 000100000, что равняется 10400000, а это хоть и значительно меньше, но по-прежнему невероятно много. При этом большинство из них все равно будут лишены смысла, в них было бы написано что-то наподобие: «Капустный патроним забыл запрещать вражеская сущность» [16] . Поэтому, наверное, стоит еще просчитать с учетом возможных предложений… Но даже если мы это сделаем, получится, что на то, чтобы вместить все эти книги в физическом виде, не хватит всей вселенной. Зато здесь на помощь приходит Б-пространство, и мы теперь знаем, почему на полках никогда не бывает достаточно места. Нам приятно думать, что наши видные библиотеки, такие как Британская библиотека или Библиотека Конгресса, достаточно велики. Но на самом деле объем ныне существующих книг – это лишь крошечная часть Б-пространства, всех книг, которые могут существовать. И вообще, мы никогда не напишем все эти книги.
16
Ценители творчества Джеймса Джойса будут в ярости, если мы исключим «Поминки по Финнегану», сложенные именно из таких фраз.
Точка зрения Пуанкаре о фазовом пространстве оказалась настолько полезной, что сегодня ее можно обнаружить в любой области науки – и не науки тоже. Больше всего фазовых пространств приходится на экономику. Допустим, национальная экономика охватывает миллионы различных товаров, включающих сыры, велосипеды, крыс на палочке и так далее. У каждого из них есть своя цена: скажем, кусок сыра стоит 2,35 фунта, велосипед – 499,99, крыса на палочке – 15. То есть состояние экономики представляет собой список из миллиона чисел. Фазовое пространство состоит из всех возможных списков, включая те, у которых вообще нет никакого экономического смысла. Например, список, согласно которому велосипед стоит 2 пенса, а крыса 999 999 999,95 фунта. Экономисты занимаются тем, чтобы определять принципы, по которым выбираются действительные списки из пространства всех возможных.
Классическим принципом этого выбора является закон спроса и предложения, который гласит: если товар дефицитен, а вы очень-очень хотите его приобрести, то цена на него повышается. Иногда так и происходит, впрочем, нередко случается наоборот. Поиски таких законов напоминает черную магию, а их результаты не вполне убедительны, но это свидетельствует лишь о сложности экономической науки. И, несмотря на неутешительные результаты, образ мыслей всякого
Следующая коротенькая история демонстрирует, насколько экономическая теория далека от реальности. Основой общепринятой экономики является представление о рациональном агенте, обладающем самой точной информацией и максимизирующем полезность. Согласно такому предположению, таксист, например, будет организовывать свою работу так, чтобы заработать максимальную сумму денег, приложив минимальные усилия.
Доход таксиста зависит от нескольких обстоятельств. В лучшие дни, когда у него много пассажиров, он зарабатывает хорошо. В плохие дни – нет. Следовательно, рациональный таксист должен дольше работать в хорошие дни и пораньше заканчивать в плохие. Однако исследование работы нью-йоркских таксистов, проведенной Колином Кэмерером, дало совершенно противоположные результаты. Похоже, таксисты устанавливают для себя дневную норму и прекращают работу, как только достигают нужной отметки. Поэтому они меньше работают в хорошие дни и больше – в плохие. Если бы они работали одинаковое количество часов каждый день, то могли бы увеличить свой доход на 8 %, не увеличивая средней продолжительности рабочего дня. А если бы работали дольше в хорошие дни и меньше в плохие, то их доход вырос бы на 15 %. Но у них не столь хорошо развита интуиция для выбора экономического фазового пространства, чтобы так поступать. Им, как и многим другим людям, свойственно придавать слишком большое значение настоящему и мало заботиться о будущем.
Насыщена фазовыми пространствами и биология. Первым широкое распространение получило ДНК-пространство. Связанное с каждым живым организмом, оно является его геномом, цепочкой химических молекул, называющихся ДНК. Молекула ДНК имеет форму двойной спирали, то есть представляет собой две спирали, закрученные вокруг общего ядра. Каждая спираль состоит из цепочек «оснований», или «нуклеотидов», которые могут быть четырех видов: цитозин, гуанин, аденин, тимин. Как правило, они обозначаются буквами Ц, Г, А и Т, соответственно. Последовательности двух цепочек комплеменарны: если Ц оказывается в одной спирали, то во второй обязательно будет Г, и то же самое с А и Т. То есть ДНК содержит две копии последовательностей, так сказать, одну положительную и одну отрицательную. Говоря абстрактно, геном можно представить последовательностью этих четырех букв типа ААТГГЦЦТЦАГ… которая может быть достаточно длинной. Геном человека, к примеру, содержит порядка трех миллиардов букв.
Фазовое пространство для геномов, или ДНК-пространство, состоит из всех возможных последовательностей заданной длины. Если говорить о человеке, то ДНК-пространство будет включать в себя все возможные последовательности из трех миллиардов букв Ц, Г, А и Т. Насколько оно велико? Выражаясь математическим языком и по аналогии со случаем с машинами на парковке, ответ таков: 4x4x4 x … x4, с тремя миллиардами четверок. То есть 43000000000. Это число гораздо больше того 70-значного, что мы получили в задаче о парковке. И гораздо больше количества стандартных книг в Б-пространстве. В нем около 1 800 000 000 цифр. Если вы запишете его, помещая на каждой странице по 3000 цифр, вам понадобится тетрадь с 600 000 листами, чтобы все это вместить.
Представление о ДНК-пространстве весьма полезно для генетиков, занимающихся изучением возможных изменений в последовательностях ДНК, таких как «точечные мутации», при которых меняется всего одна буква кода, скажем, в результате ошибки при копировании. Или воздействия высокоэнергетического космического луча. В частности, вирусы мутируют так стремительно, что нет смысла говорить о зараженных особях как о чем-то постоянном. Вместо этого биологи называют их квазивидами и представляют их как группы родственных последовательностей в ДНК-пространстве. Эти группы по прошествии времени перемещаются, но держатся вместе, что позволяет вирусу сохранить свою индивидуальность.
За всю историю человечества жило не более десяти миллиардов людей – всего лишь 11-значное число. Это неимоверно крошечная часть от всех тех возможностей. То есть люди использовали лишь крупинку ДНК-пространства, как и книги использовали лишь крупинку Б-пространства. Разумеется, самые интересные вопросы не столь просты. Большинство буквенных последовательностей не складывается в книгу, начиненную смыслом, а большинство цепочек ДНК не подходят для жизнеспособного организма, не говоря уже о человеке.