(Не)совершенная случайность. Как случай управляет нашей жизнью
Шрифт:
Таково распределение чисел: 1/2 метра, 3/4 метра, 7/8 метра, 15/16 метра… Знаменатель — степень двойки, числитель на одну часть меньше знаменателя. Глядя на таким образом распределившиеся числа, можно вычислить: через 10 интервалов ученик пройдет 1 023/1 024 метра; через 20 интервалов — 1 048 575/1 048 576 метра и так далее. Из распределения чисел ясно, что Зенон прав — чем больше интервалов, тем больше получаемая сумма расстояний. Однако Зенон не прав, когда говорит, что сумма стремится к бесконечности. Наоборот, числа приближаются к 1; математики сказали бы,
Парадокс Зенона о количестве времени, которое потребуется на то, чтобы пройти путь, но никак не о расстоянии. Если ученик будет шагать в строгом соответствии с интервалами Зенона, ему, конечно же, придется попотеть (не говоря уже о том, что он должен будет совершать крошечные, меньше миллиметра шаги)! Однако если он станет передвигаться с постоянной скоростью, не соблюдая воображаемые Зеноновы интервалы — а почему бы и нет? — время, которое потребуется на преодоление каждого из интервалов, будет пропорционально расстоянию, пройденному за этот интервал, а поскольку в целом отрезок пути конечен, конечно и общее время и — к счастью для всех нас — движение все-таки возможно.
Хотя современная концепция пределов была разработана намного позже того времени, в котором жил Зенон, да и не только он, а и Бернулли — это произошло в XIX в.{94} — именно она составляет суть математического анализа, и именно таковы по сути своей попытки Якоба Бернулли исследовать связь между вероятностями и наблюдением. В частности, Бернулли изучил, что происходит в пределе сколь угодно большого числа многократных наблюдений. Подбросьте сбалансированную монету 10 раз: у вас может выпасть 7 орлов. Однако если вы подбросите монету сто тысяч миллиардов раз, у вас, скорее всего, получится половина на половину. В 1940-х гг. южноафриканский математик Джон Керрич решил проверить это на практике, подбрасывая монету множество раз, приближавшееся к ста тысячам миллиардов — на самом деле 10 тыс. — и записывая результат каждого броска{95}. Вы можете подумать: этот математик мог бы заняться чем-нибудь более полезным, однако он в то время был военнопленным — его угораздило оказаться в Копенгагене как раз тогда, когда немцы в апреле 1940 г. захватили Данию. Согласно полученным данным, после 100 бросков орлы получались только в 44%, однако к тому времени, когда было сделано 10 тыс. бросков, цифра оказалась гораздо ближе к половине: 50,67%. Как выразить этот феномен количественно? Ответ на этот вопрос дал Бернулли.
Согласно свидетельствам историка и философа Иэна Хэкинга, работа Бернулли «явилась для общественности ярким предвестником всего того, что нам известно о ней теперь; ее математическая глубина, широчайшее практическое применение, двойственность и приглашение к философским размышлениям. Вероятность проявилась во всей своей полноте». Если же привести более скромные слова Бернулли, то его исследование оказалось «не лишенным новизны и в то же время… невероятной практичности». Бернулли писал, что это стоило ему «огромных усилий»{96}. Он работал над своим трудом двадцать лет.
Важнейшим достижением за все двадцать лет непрерывной работы Якоб Бернулли считал «золотую теорему». Ее современные версии, разнящиеся техническими деталями, известны под разными названиями: теорема Бернулли, закон больших чисел, обычный закон больших чисел. Фраза «закон больших чисел» фигурирует потому, что, как мы уже говорили, теорема Бернулли связана со способом, с помощью которого результаты отражают неявные вероятности в процессе многократных наблюдений. Однако мы будем придерживаться терминологии Бернулли и станем называть его теорему «золотой теоремой», потому как будем иметь дело с ее первоначальной версией{97}.
Хотя Бернулли интересовало практическое применение, в некоторых его излюбленных примерах фигурирует предмет, в большинстве домов отсутствующий: заполненный разноцветными голышами сосуд. Согласно одной постановке задачи, Бернулли представил сосуд с 3 тыс. белых голышей и 2 тыс. черных, то есть в процентном соотношении как 60% и 40% соответственно. Вы наугад несколько раз вынимаете голыши из сосуда, но «с заменой», то есть перед тем, как вынуть следующий голыш, заменяете уже вынутый, чтобы сохранять соотношение 3 к 2. Таким образом,
Пример с сосудом хорош тем, что те же самые математические выкладки, описывающие выемку голышей из сосуда, могут быть применены и в случае описания любых серий испытаний, в которых каждое испытание имеет два возможных исхода, при условии, если эти исходы случайны, а испытания не зависят друг от друга. В наше время подобную последовательность испытаний называют испытаниями по схеме Бернулли, а серию испытаний — процессом Бернулли. Когда случайное испытание имеет два возможных исхода, один часто в произвольной форме называют «удачным», а другой — «неудачным». Названия эти весьма условны и порой не имеют ничего общего с обыденными значениями слов — ну, скажем, если вам не терпится читать эту книгу дальше, она, мол, удачная, а если вы используете ее, чтобы не дать замерзнуть себе и своей любимой после того, как все поленья в камине выгорели, то неудачная. Подбрасывание монеты, решение голосовать за кандидата А или кандидата В, рождение мальчика или девочки, приобретение или отказ от приобретения той или иной вещи, излечение или невозможность излечения, даже жизнь или смерть — все это примеры испытаний по схеме Бернулли. Действия, имеющие своим результатом множественные исходы, также могут быть смоделированы по схеме Бернулли, если вопрос формулируется так, чтобы ответом на него было «да» или «нет», например: «Кость выпала стороной 4?» или «Остался ли вообще лед на Северном полюсе?» Таким образом, хотя Бернулли писал о голышах и сосудах, все его примеры в равной степени применимы к этим и многим другим аналогичным ситуациям.
И вот, разобравшись, возвращаемся к сосуду, 60% голышей в котором белые. Если вынуть из сосуда 100 голышей (положив им замену), можно обнаружить, что именно 60 из вынутых белые, но можно вынуть и 50, 59 белых голышей. Каковы шансы того, что из вынутых вами голышей белых будет от 58% до 62%? Каковы шансы того, что вы вынете белых голышей от 59% до 61%? Насколько вы можете быть уверены, если вместо 100 голышей вынете 1 тыс. или даже 1 миллион? Вы никогда не можете быть уверены на все 100%, но возможно ли вынуть достаточно голышей для того, чтобы шансы, скажем, того, что вы вынете белых голышей от 59,9% до 60,1%, стали равны 99,9999%? «Золотая теорема» Бернулли и применима как раз в таких случаях.
Чтобы воспользоваться ею, придется совершить два выбора. Во-первых, вы должны определить, какая погрешность является для вас приемлемой. Насколько должен быть близок к 60% ряд ваших испытаний? Вам нужно выбрать интервал, например, плюс или минус 1%, 2% или 0,00001%. Во-вторых, вы должны решить, какая неопределенность является для вас приемлемой. Вы не можете быть уверены на 100% в том, что испытание выдаст результаты, к которым вы стремитесь, но вы можете позаботиться о том, чтобы получать удовлетворительный результат в 99 случаях из 100 или 999 случаях из 1 тыс.
«Золотая теорема» сообщает о том, что всегда возможно вынуть достаточно голышей для того, чтобы быть почти уверенным в том, какой процент белых голышей из вынутых будет ближе всего к 60%, и это несмотря на то, насколько требовательны вы в своем определении этого «почти уверен» и «ближе всего». С помощью теоремы также выводится формула числа испытаний, которые «достаточны» в рамках приведенного выше определения.
Первая часть закона была достижением на понятийном уровне, именно она и осталась в современной версии теоремы. Что же до второй части — формулы Бернулли — то важно понять: хотя «золотая теорема» определяет число испытаний, достаточных для достижения уверенности и точности, она не говорит, что невозможно достичь этого при меньшем числе испытаний. Это не влияет на первую часть теоремы, для которой достаточно знать лишь то, что число определенных испытаний конечно. Однако Бернулли также намеревался использовать число, выведенное с помощью формулы, в практических целях. Возьмем числовой пример, который Бернулли придумал сам, хотя контекст я изменил. Предположим, 60% избирателей в Базеле поддерживают мэра. Скольких человек необходимо опросить, чтобы шансы обнаружить, что мэра поддерживают от 58% до 62%, равнялись 99,9%, то есть, чтобы получить результаты с точностью плюс-минус 2%? (Предположим, оставаясь в согласии с Бернулли, что опрошенные люди выбраны наугад, однако с заменой. Другими словами, возможно, что одного и того же человека вы опросите более одного раза.) Ответ — 25 550, во времена Бернулли почти все население Базеля. Тот факт, что число это невозможно, от Бернулли не ускользнул. Он также знал, что опытные игроки интуитивно угадывают свои шансы на удачу в новой игре, основываясь на выборке, гораздо меньшей, чем тысячи испытаний.