Новый ум короля: О компьютерах, мышлении и законах физики
Шрифт:
Но это бросает вызов самой сущности математики! Основополагающим принципом всего нашего математического наследия и образования является непоколебимая решимость не склоняться перед авторитетом каких-то неясных правил, понять которые мы не надеемся. Мы должны видеть— по крайней мере, в принципе — что каждый этап рассуждений может быть сведен к чему-то простому и очевидному. Математическая истина не есть некая устрашающе сложная догма, обоснованность которой находится вне границ нашего понимания — она строится из подобных простых и очевидных составляющих; и когда они становятся ясны и понятны нам, с их истинностью соглашаются все без исключения.
С моей точки зрения, получить такое явное reductio ad absurdum(без применения настоящего математического доказательства) мы даже и мечтать не могли! Основная идея должно быть теперь ясна. Математическая истина — это не то, что мы устанавливаем просто за счет
Вдохновение, озарение и оригинальность
Я должен попытаться как-то прокомментировать те внезапные вспышки озарения, которые мы называем вдохновением. Откуда берутся все эти мысли и образы? Может быть, они появляются из нашего бессознательного — или все же сознание существенным образом связано с их рождением? Можно привести множество примеров из воспоминаний великих мыслителей, где они прямо указывали на такие события. Как математик, я особенно интересуюсь теми случаями, когда вдохновение посещало именно математиков, но думаю, что между математикой и другими науками и искусством есть много общего. Эта тема великолепно изложена в небольшой работе «Исследования психологии процессов изобретательства в области математики» — классическом труде выдающегося французского математика Жака Адамара — к которой я и отсылаю читателя. В ней он приводит многочисленные примеры озарения в изложении ведущих математиков и не только. Один из наиболее известных случаев связан с Анри Пуанкаре. В начале Пуанкаре описывает свои напряженные сознательные исследования, связанные с построением так называемых «функций Фукса», которые в конце концов явно зашли в тупик. И вот что он пишет далее:
«…Я покинул Кон, где я жил в то время, чтобы принять участие в геологической экспедиции, организованной Горной школой. Впечатления от поездки заставили меня забыть о моей математической работе. Достигнув местечка Кутонс мы сели в омнибус, чтобы добраться на нем до следующего пункта назначения. В тот момент, когда я ставил ногу на подножку, мне пришла в голову идея, которая, казалось, никоим образом не вытекала из моих прошлых раздумий, что преобразования, используемые мной для определения функций Фукса, были идентичны определенным преобразованиям в неэвклидовой геометрии. Я не проверил эту идею. У меня просто не было времени, так как когда я занял свое место в омнибусе, я продолжил прерванную беседу — но я был совершенно уверен в правильности моей догадки. Вернувшись в Кон, я выбрал свободное время и, проверив для собственного спокойствия свое предположение, убедился в его справедливости».
Что поражает в этом примере (как и во многих других, приведенных Адамаром) — это внезапность появления столь сложной и глубокой идеи в сознании Пуанкаре, которое в тот момент было занято совершенно другим; и тот факт, что возникновение этой идеи сопровождалось четким ощущением ее истинности, которую полностью подтвердили последующие расчеты. Тут нужно сразу оговориться, что подобные идеи сама по себе далеко не так просты, чтобы их можно было легко выразить словами. Думаю, что для ясного изложения своих мыслей Пуанкаре потребовалось бы провести примерно часовой семинар для экспертов в этой области. Ясно, что эта идея могла полностью оформиться в сознании Пуанкаре только после долгих часов размышлений, направленных на изучение всех возможных аспектов указанной проблемы. Да, в некотором смысле, идея, осенившая Пуанкаре, когда он садился в омнибус, была «единичной» идеей, которую можно было полностью осознать в один момент. Еще более замечательной представляется убежденность Пуанкаре в ее справедливости — убежденность, которая сделала последующую детальную проверку этой идеи почти что излишней.
Пожалуй, мне стоит попытаться соотнести этот случай с моим собственным опытом, который оказывается в каком-то смысле похожим. На самом деле, я не могу вспомнить ни одной ситуации, когда хорошая идея пришла бы мне в голову «с неба», как это произошло в случае с Пуанкаре (или во многих других известных примерах подлинного вдохновения). Что касается меня, то мне нужно, чтобы выполнялись определенные условия: мне необходимо думать о том вопросе, над которым я в данный момент работаю, пусть даже в «фоновом режиме» и не целенаправленно, но обязательно осознанно; вполне возможно, что при этом я буду заниматься чем-то посторонним и успокаивающе-монотонным, например, бриться; вероятно, я заново возьмусь размышлять о проблеме, которая на некоторое время была отложена
Вероятно, стоит привести конкретный пример, который может оказаться небезынтересным и с другой точки зрения. Осенью 1964 года меня занимал вопрос о сингулярностях черных дыр. Оппенгеймер и Снайдер в 1939 году показали, что строго сферическийколлапс массивной звезды может приводить к образованию центральной сингулярности пространства-времени, выходящей за пределы классической общей теории относительности (см. главу 7, «Черные дыры» и «Структура пространственно-временных сингулярностей»). Многие считали, что этого неприятного вывода можно было бы избежать, если бы удалось убрать (необоснованное) предположение о строгой сферической симметрии. В противном случае получается, что вся коллапсирующая материя стремится к единой центральной точке, где (как вполне закономерно было бы предположить, учитывая симметричность ситуации) возникает сингулярность бесконечной плотности (вещества). Вполне разумным кажется предположение о том, что без такой симметрии материя попадала бы в центральную область далеко не так согласованно, вследствие чего сингулярности бесконечной плотности могло бы и не получиться. Возможно даже, что вся материя в этом случае снова «раскрутилась» бы, демонстрируя поведение, совершенно отличное от идеализированной черной дыры Оппенгеймера и Снайдера [218] .
218
Термин «черная дыра» вошел во всеобщее употребление много позже, около 1968 года (главным образом благодаря пророческим идеям американского физика Джона А. Уилера).
Стимулом для моих собственных размышлений на эту тему послужил вновь возникший интерес к проблеме черных дыр, связанный со сравнительно недавно открытыми квазарами (в начале 1960-х годов). Физическая природа этих на удивление ярких (с учетом отделяющих их от Земли расстояний) астрономических объектов вызвала у некоторых специалистов предположение о том, что в центре каждого из них может находиться нечто наподобие черной дыры Оппенгеймера — Снайдера. С другой стороны, многие считали, что гипотеза Оппенгеймера — Снайдера о сферической симметрии может привести здесь к совершенно неверным представлениям. Однако мне пришло в голову (в контексте другой работы, которую я выполнял), что можно было бы сформулировать и доказать точную математическую теорему, указывающую на неизбежностьвозникновения сингулярностей в пространстве-времени (в рамках стандартной общей теории относительности) и тем самым подтверждающую наличие черных дыр — при условии достижения коллапсом определенной «точки необратимости». Я не знал, как математически можно было бы определить такую точку (не используя при этом условия сферической симметрии), не говоря уже о формулировке или доказательстве соответствующей теоремы. В то время приехал коллега из США Айвор Робинсон, с которым у меня, пока мы шли по улицам Лондона в направлении моего офиса, завязалась оживленная дискуссия на совершенно другую тему. Разговор на момент прекратился, когда мы переходили через дорогу, и был продолжен только на другой ее стороне. И в эти несколько мгновений — я знаю это совершенно точно! — у меня возникла некая идея, которая также быстро оказалась стерта из памяти возобновившейся беседой!
В тот же день, после того, как мой коллега ушел, я вернулся в свой офис. Я помню, что у меня было странное чувство душевного подъема, которое я сам себе никак не мог объяснить. Я начал перебирать все отложившиеся в памяти впечатления этого дня в попытке отыскать причину такого непонятного воодушевления. После исключения множества неподходящих возможностей, я в конце концов вспомнил ту мысль, которая возникла у меня при переходе улицы — и в которой заключалось решение задачи, постоянно крутившейся у меня в голове все последнее время!
Несомненно, это был искомый критерий — который я впоследствии назвал «ловушечная поверхность» — и мне уже не понадобилось много времени, чтобы набросать план доказательства искомой теоремы (Пенроуз [1965]). И хотя прошло еще немало времени, прежде чем было сформулировано математически строгое доказательство — ключевое место в нем сохранила та первоначальная идея, которая пришла мне в голову при пересечении улицы. (Я иногда пытаюсь представить себе, что было бы, если бы в течении этого дня произошло другое, менее существенное событие, сравнимое, однако, по эмоциональному воздействию. Может быть, в этом случае, я бы вообще никогда не вспомнил про свою мимолетную идею!)