Ньютон. Закон всемирного тяготения. Самая притягательная сила природы
Шрифт:
– каждая планета Солнечной системы обращается по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце;
– каждая планета движется в плоскости, проходящей через центр Солнца, причем за равные промежутки времени радиус-вектор, соединяющий Солнце и планету, описывает равные площади.
Орбиты, рассчитанные на основе этих двух законов, идеально подтверждались наблюдениями, доступными в то время. Третий закон Кеплера был выведен десять лет спустя и описан в его книге «Гармония мира» (Harmonices mundi) (1619); в его основе лежат количественные расчеты, до тех пор не применявшиеся в астрономии. Закон утверждает, что квадраты периодов обращения любых двух планет вокруг Солнца пропорциональны кубу их средних расстояний до Солнца. Теория Коперника, дополненная законами Кеплера, превосходила геоцентрическую теорию в простоте, изяществе и точности. И теперь в соответствии с законами Кеплера следовало объяснить, что заставляет планеты
ТРИ ЗАКОНА КЕПЛЕРА
Астрономическая модель Кеплера заключается в трех законах, которые математически описывают движение планет по своим орбитам вокруг Солнца. Первый закон гласит: каждая планета Солнечной системы обращается по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце. Эллипс определяется как совокупность точек поверхности, которые соответствуют условию l1 + l2 = константа (рисунок 1). Второй закон гласит: каждая планета движется в плоскости, проходящей через центр Солнца, причем за рав- ные промежутки времени радиус-вектор, соединяющий Солнце и планету, описывает равные площади. Закрашенные зоны одинаковой площади преодолеваются за одинаковые промежутки времени. За одно и то же время на участке, закрашенном темно-се- рым, планета должна пройти дугу эллипса большей длины, чем на светло-сером участке (рисунок 2). Третий закон, изложенный десять лет спустя, гласит: квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы больших полуосей орбит планет. Время, которое планета затрачивает на прохождение орбиты (период T), пропорционально большей полуоси R, возведенной в степень 3/2 (рисунок 3).
РИС.1
РИС. 2
РИС.3
ОТ ГАЛИЛЕЯ ДО НЬЮТОНА
По мере укрепления идей Коперника на смену аристотелевой физике пришла количественная динамика, представленная Галилеем (1564-1642). Галилей защищал новую концепцию науки, основанную на сочетании эксперимента и математических размышлений. Эта концепция обобщена в его изречении:
«Философия написана в великой книге Вселенной, всегда открытой перед нашими глазами. Но ее невозможно прочитать, не понимая ее языка и символов. Эта книга написана на языке математики, а буквы в этом языке – треугольники, круги и все геометрические фигуры. Без этих средств невозможно человеку понять ни слова, без них мы тщетно блуждаем в темном лабиринте».
Вернейшим доказательством его идей стала главная работа Ньютона «Математические начала натуральной философии». В качестве примера новой науки Галилей стал изучать траектории падения тел. Он показал, что вопреки утверждениям Аристотеля время падения тел не зависит от их размера и маcсы. Вряд ли можно считать достоверной популярную историю о том, что Галилей сбрасывал свинцовые шары с Пизанской башни. Для экспериментов он использовал наклонные поверхности, которые позволяли более точно корректировать время падения. Он же открыл общий закон ускорения, действующий при падении тел, и подтвердил идею о параболической траектории, по которой движутся снаряды.
Галилей не изобретал телескоп, но он стал первым, кто направил его в небо и правильно описал увиденное. Наблюдения ученого – лунные горы, спутники Юпитера, пятна на Солнце, фазы Венеры – стали мощным подтверждением теорий Коперника. Католическая церковь предупредила Галилея, что тот вступает на опасную почву. Ученый, находившийся в дружеских отношениях с папой римским, недооценил серьезность предупреждения, однако в 1632 году, когда увидела свет его работа «Диалог о двух главнейших системах мира – птолемеевой и коперниковой» (Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo, tolemaico e copemicano), он был подвергнут инквизицией постыдному судебному процессу и едва не простился с жизнью. Несмотря на то что Галилею на тот момент уже было почти 70 лет, его принудили встать на колени и клятвенно отречься от своего мнения о движении Земли, а также приговорили к пожизненному
Труд Галилея также попал в список запрещенных книг. В своих «Диалогах» он ввел термин «инерция», очень важный для понимания динамики Солнечной системы. Ньютон использовал его в своем первом законе механики.
Часто говорят о символическом совпадении: дескать, Ньютон родился в год смерти Галилея, в 1642-м. Пусть сохранится подобная символичность, объединяющая этих двух гениев. Второй из них – Ньютон – покажет, что причины, по которым планеты остаются на своих орбитах, а пушечное ядро летит по параболической траектории, – одни и те же.
ЗАГАДОЧНОЕ БЛУЖДАНИЕ ПЛАНЕТ
Путь Ньютона к написанию «Математических начал натуральной философии» был длинным и начался во время его вынужденного затворничества в родном доме, куда он вернулся из-за закрытия университета в связи с эпидемией чумы 1665 года.
В первые месяцы после приезда в Вулсторп ученый все свое время посвящал математическим размышлениям, на основании которых он вывел принцип анализа бесконечно малых. Окончательно этот принцип будет оформлен через три-четыре года. В начале 1666 года Ньютон стал также заниматься вопросами, связанными с механикой. Вдохновленный трудами Декарта и Галилея, он начал разрабатывать то, что позже назовет принципом инерции: тело продолжает сохранять состояние движения, пока на него не действуют другие силы.
Вслед за Декартом Ньютон начал изучать круговое движение и попытался решить задачи, поставленные теорией Коперника и касающиеся движения Земли и других планет, – они были собраны Галилеем в его «Диалогах». Ньютон поставил вопрос о движении планет в рамках декартовой теории вихрей, которую он самостоятельно изучил в годы, предшествующие учебе в Кембридже. Он исходил из закона прямолинейной инерции и пары «притяжение – центробежная сила» для изменения прямых траекторий, так же, как это сделал нидерландский астроном и математик Христиан Гюйгенс (1629-1695). Гюйгенс первым количественно выразил стремление тел удаляться от центра при круговом движении. В своей работе «О центробежной силе» (De vi centrifuga), опубликованной в 1673 году, он назвал эту тенденцию центробежной силой и с ее помощью пытался объяснить такие природные феномены, как движение света и притяжение тел. Таким образом, сначала Ньютон придавал большее значение стремлению планет отдаляться (центробежная сила), чем силе притяжения Солнца. Использовав третий закон Кеплера, он смог открыть, что центробежные силы, порождаемые планетами, изменялись обратно пропорционально квадрату их расстояний до Солнца.
ЛУННЫЕ ГОРЫ
В своей работе «Звездный вестник» (Sidereus Nuncius) (1610), проведя серию наблюдений при помощи телескопа, Галилей заявил, что на Луне существуют горы, опровергнув таким образом тезис Аристотеля о том, что небо совершенно, а Луна – это гладкая и неизменная сфера. Другие наблюдения ученого из Пизы, свидетельствующие в пользу тезисов Коперника, были следующими: сезонные изменения пятен на Солнце подтверждают, что ось вращения Солнца наклонена; звезды не увеличиваются в размере (что, напротив, происходит с планетами), и это доказывает гипотезу о существовании огромного расстояния между Сатурном и неподвижными звездами; у Юпитера есть спутники (возможно, это самое значительное открытие Галилея), и это означает, что не все небесные тела вращаются вокруг Земли; фазы Венеры, связанные с изменением размера звезды, доказывают, что она вращается вокруг Солнца.
Слева – фазы Венеры, определяемые гелиоцентрической орбитой планеты и подтвержденные наблюдениями Галилея. Справа – фазы планеты в соответствии с геоцентрической моделью.
Однако стоит более подробно описать путь, которым шел Ньютон в своих исследованиях планетарного движения, пытаясь найти связь между центробежной силой и квадратом расстояния.
Предположим, что тело массой m движется с постоянной скоростью v по окружности с радиусом r. Ньютон рассчитал, что полная сила при равномерном круговом движении стремится к 2пи mv. Если теперь рассчитать не полную, а мгновенную силу (разделив на время полного оборота 2пи r/v), получаем