О четверояком корне закона достаточного основания

Шопенгауэр Артур

В этом доказательстве мы имеем основание познания истинности: теоремы. Но кто же основывает свою уверенность в этой геометрической истине на подобном доказательстве, а не на познанном созерцанием основании бытия, по которому (в силу необходимости, не допускающей дальнейшего доказательства, а доступной только созерцанию), если из обоих конечных точек линии исходят две другие линии и равномерно наклоняются друг к другу, они могут встретиться только в одной точке, находящейся на одинаковом: расстоянии от обеих конечных точек, потому что два возникающих угла составляют, собственно, только один угол, кажущийся двумя углами только из–за противоположного положения; поэтому нет основания, чтобы линии встретились ближе к одной точке, чем к другой.

Познавая основание бытия, мы выводим как

необходимое следствие, обусловленное его условием, в данном случае — равенство сторон из равенства углов,— их связь; основание же познания дает нам только совместное бытие обоих. Более того, можно даже утверждать, что обычный метод доказательства убеждает нас, собственно, лишь в том, что оба равенства выступают в данной, принятой в доказательстве фигуре, а отнюдь не в том, что они всегда выступают вместе; в этой истине (поскольку необходимая связь не показана) мы обретаем только уверенность, основанную на индукции, и покоится наше убеждение на том, что это обнаруживается в каждой фигуре, построенной нами. Правда, столь легко основание бытия бросается в глаза только в таких простых теоремах, как шестая теорема Евклида; однако я убежден, что в каждой, даже самой запутанной, теореме его можно выявить и свести достоверность теоремы к такому простому созерцанию. К тому же каждый a priori сознает необходимость такого основания бытия для каждого пространственного отношения, подобно необходимости причины для каждого изменения. Конечно, обнаружить такое основание в сложных теоремах очень трудно, а здесь не место проводить сложные геометрические исследования. Поэтому только для того, чтобы еще больше уяснить свою мысль, я сведу к основанию бытия не очень сложную теорему, в которой, однако, это основание не сразу бросается в глаза.

Пропускаю десять теорем и перехожу к шестнадцатой: «В каждом треугольнике, одна сторона которого продолжена, внешний угол больше, чем каждый из двух противостоящих ему внутренних». Доказательство Евклида таково (см. рис. 4).

Возьмем треугольник abg, продолжим сторону bg к d, и я утверждаю, что внешний угол agd больше, чем каждый из двух противостоящих ему внутренних. Разделим сторону ag пополам в точке е, проведем линию be, продолжим ее до z p сделаем ez равной еb, соединим точки z и g и продолжим ag до h. Так как ае равна eg и be равна ez, то две стороны ае и eb равны двум сторонам ge и ez, взятым в отдельности, и угол aeb равен углу zeg, ибо это — вертикальные углы. Тем самым основная линия ab равна основной линии zg и треугольник аbe равен треугольнику zeg: а остальные углы равны остальным углам, следовательно, и угол bae равен углу egz. Однако угол egd больше угла egz, следовательно, и угол agd больше угла bae. Если разделить пополам и линию bg, то подобным же образом можно доказать, что угол bgh, т. е. его вертикальный угол agd, больше, чем abg.

Я бы доказал эту теорему следующим образом (см. рис. 5). Для того чтобы угол bag был равен, а тем более превзошел бы, угол agd, линия ba (ибо это и означает равенство углов) должна была бы находиться по отношению к линии ga в том же направлении, как bd, т. е. быть параллельной bd, другими словами, никогда не пересекаться с bd; однако для того чтобы образовать треугольник, она должна (основание бытия) пересечься с bd, т. е. совершить противоположное требуемому для того, чтобы угол bag хотя бы достиг величины угла agd.

Для того чтобы угол abd был равен углу agd, а тем более превосходил его (ибо именно это и означает равенство углов), линия bа должна была бы находиться по отношению к линии ga в том же направлении, что bd, т. е. идти параллельно bd, другими словами, никогда не пересекаться с ней; но для того чтобы образовать треугольник (основание бытия), она должна пересечься с линией ag, следовательно, совершить противоположное требуемому для того, чтобы угол abg хотя бы достиг величины угла agd.

Всем этим я отнюдь не хотел предложить новый метод математических демонстраций или заменить моим доказательством доказательство Евклида; для этого оно не подходит по всему своему характеру, а также потому, что оно предполагает понятие параллельных линий, которое лишь позже встречается у Евклида; я хотел лишь показать, чт'o есть основание бытия и чем оно отличается от основания познания, которое действует лишь convictio, а это нечто совсем другое, чем понимание основания бытия. То, что в геометрии стремятся действовать лишь convictio, что производит неприятное впечатление, а не пониманием основания бытия, которое, как всякое понимание, удовлетворяет и радует, послужило, вероятно, одной из причин того, что многие люди глубокого ума не склонны заниматься математикой.

Не могу удержаться, чтобы не поместить здесь еще раз уже данную в другом месте фигуру (рис. 6); один взгляд на нее, без всяких рассуждений, убеждает в истинности теоремы Пифагора в двадцать раз больше, чем запутанное доказательство Евклида. Читатель, которого заинтересовала эта глава, найдет дальнейшее рассмотрение этой темы в «Мире как воле и представлении», т. 1, § 15 и т. 2, гл. 13.

 

Седьмая глава

 

§ 40. Общее объяснение

 

Последний, предстоящий еще нашему рассмотрению, класс предметов способности представления очень своеобразен, но и очень важен: в нем для каждого заключен только один объект, а именно непосредственный объект внутреннего чувства, субъект воления, который есть объект для познающего субъекта и дан только внутреннему чувству; поэтому он является только во времени, не в пространстве, и даже в нем, как мы увидим, со значительным ограничением.

 

§ 41. Субъект познания и объект

 

Каждое познание обязательно предполагает субъект и объект. Поэтому и самосознание не просто, а распадается, как и познание других вещей (т. е. способность созерцания), на познаваемое и познающее.

Здесь познаваемое выступает исключительно и полностью как воля.

Поэтому субъект познает себя только как валящего, а не как познающего. Ибо представляющее Я, субъект познания, будучи необходимым коррелятом всех представлений, их условием, никогда не может само стать представлением или объектом; к нему применимо прекрасное изречение священных Упанишад: Id videndum non est: omnia videt; et id audiendum non est: omnia audit; sciendum non esi: omnia scit; et intelligendum non est: omnia intelligit. Praeter id, videns et sciens, et audiens, et intelligens ens aliud non est (Oupnek'hat, vol. 1, p. 202)⁰⁸⁸ .

Поэтому–то и не существует познания познания, ибо для этого нужно было бы, чтобы субъект отделился от познания и все–таки познавал бы познание, что невозможно.

На возражение: «я не только познаю, но и знаю, что я познаю» — я отвечу: твое знание о твоем познании отличается от твоего познания только выражением. «Я знаю, что я познаю» утверждает не более, чем «Я познаю», а оно без дальнейших определений утверждает не более, чем «Я». Если твое познание и твое знание об этом познании отличаются друг от друга, то попробуй иметь каждое из них в отдельности: познавай, не зная об этом, или же знай о твоем познании так, чтобы это знание не было бы одновременно познанием. Правда, от всякого особенного познания можно абстрагироваться и получить таким образом положение «Я познаю», которое есть последняя возможная для нас абстракция; но оно тождественно с положением «для меня существуют объекты», а это положение тождественно положению «я субъект», в котором не содержится ничего, кроме «Я».