Очевидное? Нет, еще неизведанное…
Шрифт:
И авторы неэвклидовой геометрии (Лобачевский, Бояи, Гаусс) пришли к своим представлениям не потому, что геометрия Эвклида не соблюдалась на практике, а на основе чисто умозрительных построений.
Но если математики могли чисто логически прийти к идее, что возможны различные системы аксиом, что пространство может описываться различными геометриями, то физикам такой путь не был доступен. Во-первых, основы физики (ее аксиомы) тогда, по существу, не были разработаны. А во-вторых, сам характер исследовательской работы воспитывал предубеждение против скрупулезных логических, излишне абстрактных рассуждений. И только гений Эйнштейна помог физикам синтезировать оба метода.
Поэтому, зная, что детальный анализ основных положений классической физики необходим для понимания теории относительности, мы можем спокойно продолжать.
Посмотрим, как еще следует дополнить математическое определение
А возможно, решает не расстояние, а время, которое стержень находится в пути. То есть чем дольше он будет в движении, тем короче (или длиннее) станет.
Тоже звучит дико. Не правда ли? Но если подумать, то придется признать, что эти предположения кажутся нам нелепыми единственно потому, что мы бессознательно, интуитивно привлекаем наш опыт. А опыт говорит, что ничего подобного не происходит.
Еще раз подчеркнем. Подобные вопросы нельзя отбрасывать на основании общих рассуждений, их можно разрешать только путем анализа опытных данных.
А всю совокупность фактов, накопленных физикой, можно выразить таким постулатом.
Постулат № 1. Всегда можно провести движение реального физического стержня относительно масштабного отрезка по любому, наперед заданному пути таким образом, что по окончании движения его длина останется такой же, как и до начала движения, при этом, конечно, предполагается, что прочие физические условия (например, температура) оставались неизменными в процессах движения.
Формулируя этот постулат, мы снова не стремились к безупречной строгости. Мы просто пытались, пусть грубо и неполно, отметить опытный факт: «Если в Москве имелось два равных стержня, то один из них можно провезти по всему свету так осторожно, что, вернувшись в Москву, мы найдем после окончания движения, что стержни остались равными».
Используя определение длины и этот постулат, можно утверждать, что если стержень A тождественно равен стержню B, а стержень B — стержню C, то A = C, то есть можно сравнивать длины тел, пребывающих в покое относительно друг друга, но удаленных один от другого на большое расстояние. Это, впрочем, уже тонкости.
Пожалуй, стоит отметить вот какую сторону вопроса. Несколько раньше мы уже сетовали, что в отличие от математиков физики имеют дело с реальными объектами и должны помнить о реальных физических свойствах. Так вот, постулат, по существу, утверждает, что длина физического стержня, участвующего по крайней мере в некоторых видах движения, остается постоянной (и в этом он ничем не отличается от масштабного отрезка), то есть после окончания движения он остается таким же, как и до начала.
Значит, имея определение длины, дополненное постулатом № 1, можно совершенно точно измерять и сравнивать длины неподвижных относительно друг друга предметов [8] .
8
Впрочем, если рассуждать совсем строго, в определении длины осталось еще очень много пробелов. Отметим только один, и весьма существенный.
Вы, возможно, заметили, что в процессе определения длины вкралось понятие движения. Без движения нельзя определить, равны ли между собой два отрезка. Нельзя и отложить масштаб.
Геометры берут движение за основное понятие и определяют его свойства, вводя несколько аксиом (групп аксиом движения). Но это слишком сложно. И вообще их «математическое» движение есть какое-то «малопонятное» преобразование математического
Но эту задачу не так просто решить. Если длина определяется при помощи движения, то, чтобы определение ее было безупречным, следует движение определять, не используя понятия длины. Не могу утверждать уверенно, но создается впечатление, что понятие движения невозможно строго определить, не используя понятия длины.
Действительно: «Движением данного тела относительно каких-либо других тел называется изменение его положения относительно этих тел». Другого определения не видно.
Точный же анализ слов «изменение положения» нельзя проделать, не владея понятием длины. Но поскольку при определении длины используется понятие движения, а при определении понятия движения понятие длины — налицо порочный круг.
Математик не допустил бы подобной ошибки. Но мы не будем обращать внимание на такие тонкости. Хотя, конечно, при этом остается чувство известной неудовлетворенности.
Но пока мы не владеем никаким другим методом определения длины, кроме прикладывания к измеряемому предмету масштаба, и не знаем по-прежнему, как определять длину предмета, который двигается относительно масштабного стержня.
С первой трудностью можно разделаться сразу.
Чтобы измерить длину предмета, неподвижного относительно эталона длины, мы можем воспользоваться любым методом определения длины, разрешенным геометрией, например методом триангуляции, без которого были бы совершенно немыслимы точные геодезические измерения. Идея триангуляции очень проста и, конечно, многим знакома.
Допустим, нужно измерить отрезок AB. Тогда под произвольным углом к AB строим отрезок AC — базу, — длину которого точно определяем, откладывая масштаб. После этого измеряем угол A и угол C. Узнав их, мы однозначно определим ABC и, использовав формулы тригонометрии, можем вычислить длину AB.
Таким путем, имея базу АС, скажем, зная расстояние между двумя кремлевскими башнями, можно совершенно точно определить расстояние до шпиля университета (AB), не занимаясь утомительным, а часто и невозможным откладыванием масштаба. Полезно помнить, между прочим, что геодезические измерения вообще немыслимы без применения триангуляции.
Но для нас интересно другое. Для измерения длины AB использовался физический процесс, совершенно отличный от процесса измерения длины, данного в определении. Мы не откладывали вдоль AB масштаб, а привлекли измерение углов. Можно ли было утверждать заранее, что длина AB, полученная методом триангуляции, совпадает с длиной AB, измеренной откладыванием масштаба? Не есть ли «триангуляционная длина» AB нечто отличное от «нормальной длины»? Ведь мы использовали два совершенно различных рецепта измерения. Заранее, конечно, мы не могли ожидать такого совпадения.
Однако, вспомнив, что теоремы геометрии доказывают равенство результатов измерения длины путем триангуляции и откладыванием масштаба, а также зная, что в окружающем мире соблюдается наша геометрия [9] , мы заключаем, что «нормальная» и «триангуляционная» длины совпадают.
Описывает ли наша геометрия окружающий мир или нет — решает опыт. Если, используя в расчетах геометрию Эвклида, мы получили бы при триангуляции другие результаты, чем при откладывании масштаба вдоль прямой AB, то должны были бы заключить, что в мире осуществляется какая-то другая, неэвклидова геометрия.
9
То есть та геометрия, формулы которой мы используем при расчете. Тригонометрические формулы ведь различны, например, в геометрии Эвклида и в геометрии Лобачевского.