Открытие без границ. Бесконечность в математике
Шрифт:
Ответ: Я не могу это доказать. Я в это верю.
Вопрос: Иными словами, речь идёт о вере.
Ответ: Не совсем. Я знаю, что каким бы большим ни было число, я всегда могу прибавить к нему другое число.
Вопрос: Я не согласен с этим. Даже если всю жизнь вы будете заниматься исключительно подсчётами, ваша жизнь конечна, и вы не сможете складывать числа неограниченное время.
Ответ: Это не важно — подсчётами могут заниматься несколько поколений людей.
Вопрос: Но жизнь на Земле также не вечна. Даже время существования самой Солнечной системы чётко отмерено.
Ответ: Всё равно. Не нужно, чтобы кто-то выполнял эти подсчёты в действительности. Достаточно знать, что
Вопрос: Таким образом, бесконечность — это нечто, существующее независимо от нас.
Ответ: Разумеется.
В этих вопросах и ответах скрыты основные различия между актуальной и потенциальной бесконечностью. Тот, кому мы задали эти вопросы, очевидно склоняется к точке зрения Аристотеля.
НА КОСТЁР РАДИ БЕСКОНЕЧНОСТИ
В 1600 году Джордано Бруно (1548–1600) совершил «грех», представив, что мы живём в бесконечном пространстве, содержащем бесконечное множество миров. Затем он сделал ошибку, высказав эти мысли публично, за что был сожжён на костре. До этого он семь лет провёл в заключении и перенёс всевозможные пытки. Это доказывает, что, во-первых, Бруно был абсолютно уверен в своей гипотезе о бесконечности и в своём праве на свободу мысли и, во-вторых, идти против большинства в ту эпоху было опасно. Печальный парадокс заключается в том, что в настоящее время научное сообщество достигло определённого консенсуса и склоняется к мысли о том, что наша Вселенная может быть конечной. Вывод: идея — это всего лишь идея, ради неё можно поставить под удар авторитет, но не жизнь. Идея того не стоит.
Бронзовый барельеф итальянского скульптора Этторе Феррари (1848–1929), на котором изображён суд римской инквизиции над Джордано Бруно. Кампо деи Фиори, Рим.
Изучение бесконечности в школе
Мы знакомимся с потенциальной бесконечностью уже в первые годы обучения в школе. Бесконечность связана с понятием счёта и, следовательно, с натуральным рядом, а также с циклическими процессами, связанными с течением времени: за днём следует ночь, за ночью — день и т. д. Наши представления о бесконечности обычно остаются неизменными, и если они вступают в противоречие с интуицией, то это не ведёт к каким-то заметным потрясениям. В действительности же они остаются более или менее неизменными потому, что мы редко используем их при решении каких-то сложных задач.
С актуальной бесконечностью дело обстоит совершенно иначе: она фигурирует во многих математических задачах, причём появляется внезапно, не оставляя времени на подготовку, поэтому неизбежно возникают противоречия, которые порой очень сложно преодолеть. Этот конфликт проявляется особенно остро, когда мы начинаем изучать математический анализ. Были проведены и до сих пор ведутся исследования, цель которых — определить, как и когда следует объяснять фундаментальные понятия при изучении математики и, в частности, математического анализа.
Для неспециалистов поясним, что математический анализ обычно начинают преподавать в старших классах, затем он изучается в течение двух-трёх лет практически на всех технических факультетах вузов.
ПРИНЯТИЕ АКТУАЛЬНОЙ БЕСКОНЕЧНОСТИ
Большинство опросов, проведённых среди населения, показывают, что 50 % опрошенных не признают существования актуальной бесконечности. Интересно, что эта точка зрения не меняется с возрастом. Иногда случается так, что даже преподаватели, объясняющие студентам материал, для понимания которого актуальная бесконечность играет определяющую роль, лишь «следуют правилам игры», но в глубине души считают, что актуальная бесконечность как таковая не должна существовать.
Попытка включить теорию множеств в курс средней школы в рамках программы современной математики, по мнению многих преподавателей, оказалась неудачной.
Возможно, причина в том, что теория множеств представляет для математиков интерес в качестве теоретической базы, но сама по себе недостаточно широко применяется на практике. В результате большинство преподавателей ограничивались объяснением самых основ, в частности понятия принадлежности к множеству или включения множеств, которые интуитивно понятны и не требуют какого-то особого математического языка. Напротив, как вы увидите в следующих главах этой книги, понятие мощности множества (числа элементов множества) представляет особый интерес, особенно когда рассматривается мощность бесконечных множеств. В этом случае речь всегда идёт об актуальной бесконечности, и возникает противоречие со здравым смыслом, так как в теории множеств рассматриваются множества, части которых равны целому. А ведь эту идею отверг ещё Евклид в «Началах», категорически заявив, что «целое больше, чем его часть», и звучит это совершенно логично.
Ещё одно противоречие возникает, когда выясняется, что ограниченные множества могут быть бесконечными, так как в нашем представлении бесконечность не имеет границ.
Как вы увидите далее, элементарная логика, или то, что порой называют интуицией, может обмануть, когда речь идёт об актуальной бесконечности. Причина в том, что при рассмотрении некоторых понятий мы не до конца понимаем их и многое принимаем на веру. Трудности, возникающие у студентов-математиков при изучении актуальной бесконечности, сравнимы с трудностями, которые испытывают студенты-физики при изучении квантовой механики. Классический пример из квантовой механики выглядит так. Допустим, у нас есть ящик с двумя отверстиями, в котором находится шар. Если мы будем перемещать ящик произвольным образом, можно ожидать, что шар выпадет из него через одно из двух отверстий. При определённых перемещениях мы даже сможем вычислить вероятность того, что он выпадет через конкретное отверстие. Намного сложнее представить, что шар выпадет через оба отверстия одновременно. Но в квантовой физике такой вариант возможен, хотя он полностью противоречит интуиции. Речь не идёт о том, чтобы понять это явление само по себе, так как всем известно, что означает: «шар выпадает через два отверстия сразу». Правильнее было бы сказать «я не верю» вместо «я не понимаю».
Нечто подобное происходит и с актуальной бесконечностью. Когда мы говорим, что крошечный отрезок прямой содержит бесконечное множество точек, мы понимаем, о чём идёт речь. Другое дело, верим мы в это или нет.
«ИСЧИСЛЕНИЕ ПЕСЧИНОК» АРХИМЕДА
Слова для обозначения больших чисел (миллион, миллиард и т. д.) были введены французским математиком Никола Шюке (ок. 1445–1488) в 1484 году. Суффиксом — иллион он обозначал число М = 106 (в этой системе обозначений M1 — миллион, М2 — биллион, М3 — триллион и т. д.). В системах счисления древности очень большие числа обычно не рассматривались.
В древнегреческой системе счисления максимально возможным числом было 100 миллионов.
Архимед создал знаменитый трактат по арифметике под названием «Исчисление песчинок», в котором, помимо прочего, привёл теоретические подсчёты общего числа песчинок на Земле. Его истинной целью было показать, что возможно создать систему счисления для подсчёта объектов, которых, как может показаться, бесконечно много, но в действительности это не так.
Система Архимеда была основана на последовательных степенях мириады (), равной 10000.
Максимально возможное число в этой системе счисления равнялось 108•100000000 (108 в степени 108) — это очень и очень большое число. Неизвестно, почему Архимед остановился именно на нём, хотя никто не мешал ему двигаться дальше.
Глава 2. Дискретное и непрерывное
Противопоставление дискретного и непрерывного, которому уделяли внимание многие мыслители, восходит к трудам древнегреческих философов и до сих пор применяется в столь разных науках, как физика, математика, психология и лингвистика.
Плотность
В великих культурах Античности, особенно древнегреческой, числам придавалось метафизическое значение. Видение мира было неразрывно связано с применявшейся системой счисления. В контексте нашего обсуждения под числами мы обычно будем понимать натуральный ряд 1, 2, 3, …, поскольку дроби в древности считались не числами в современном смысле слова, а лишь отношениями между величинами или отношениями подобия между геометрическими фигурами. Здесь необходимо прояснить один аспект, напрямую связанный с бесконечностью: если всё сущее можно выразить с помощью чисел, их должно быть достаточно много, чтобы ими можно было обозначить всё, что нам уже известно и что ещё предстоит узнать.