Парадоксы роста. Законы глобального развития человечества
Шрифт:
Демографические циклы определяют периодичность развития всего человечества за 4–5 млн лет, включая проходящий по гиперболическому закону рост от конца антропогенеза до наших дней. Наличие выделенных антропологами и историками демографических циклов, как эпох развития человечества, указывает на глобальную устойчивость системы при ее развитии по предельной траектории гиперболического роста.
Для дальнейшего перейдем к переменной n = N/K, когда население Земли измеряется в единицах K:
Тогда
Из (15) следует, что после каждого цикла до демографического перехода остается половина времени длительности цикла:
что вполне подтверждается данными истории и антропологии (см. табл. 2).
Рост населения можно иллюстрировать геометрическим построением функции тангенса:
где угол = отображает течение времени, а приращение населения N = 1 и N0 = 1 (см. рис. 19).
Линейный рост будет продолжаться до A,B = K = 1 и NB = tanl в точке В на касательной АС. Дальнейший рост N = K (/2 – )–1 будет проходить по гиперболе, при которой время асимптотически стремится к /2, а население достигнет значения NС = pK2/2. Когда система приближается к моменту особенности, то от уравнения (16а) следует переходить к уравнению (16d), чтобы описать рост при прохождении особенности в течение эпохи С.
Построение на рис. 19 показывает, что после перехода от линейного к гиперболическому росту на эпоху В остается в два раза меньше времени, чем в начальную эпоху А. Для всей эпохи В время от T0 до T1 при K = 7 разделено на 11 интервалов. Поскольку /2 11/7, то NC = K2 =49 в момент обострения. Однако даже при таком малом значении K, когда ln 7 = 1,95 дает хорошую оценку l + ln K 3 для числа демографических циклов.
Таким образом, нулевой цикл А антропогенеза продолжался 7 единиц времени, первый цикл длился 3 и последний – 1 единицу времени. Это построение показывает, как дискретность времени и населения приводит к появлению периодичности роста, выраженной в демографических циклах.
Линейный рост описывает развитие системы от начальной сингулярности роста при N0 = 1 и положительных значений N.
На рис. 20 показаны функции, описывающие рост системы при K = 1, которые появляются при построении решения, начинающегося с сингулярности в эпоху А, переходящего затем в эпоху В гиперболического роста и завершающегося эпохой С. Асимптотический переход решений, описывающий рост в начале развития и на его конечном участке, получим, обратившись к рядам для функции cot–1(t/K) и cot(t/K):
Эти функции пересекаются в точке А, посередине роста при логарифмическом представлении между временем Т0 и Т1, соответствующей наступлению неолита:
под углом 2/(3 K) и практически гладко при K >>1.
Очевидно, что решение можно строить, отсчитывая время от T0 – от эпохи антропогенеза A при t0 = 0. Тогда, исключив t из (16c), получим одно автономное дифференциальное уравнение, описывающее рост в зависимости oт состояния системы, которое определяется населением Земли:
где последний член добавлен с тем, чтобы рост в эпоху А никогда не был меньше одного гоминида при = .
Интегрируя (20) и при значениях K > 1 и начальных условиях t0 = n0 = 0, получим решение:
Это решение показывает симметрию переменных N и T – населения и времени. Для развития в течение эпохи В вдали от особенностей роста это выражено в (16в) и следует из сложности причинных связей в рамках развитых представлений о нелинейной динамике глобальной системы населения нашей планеты.
Для того чтобы выяснить устойчивость развития, следует обратиться к уравнению роста человечества (20). На основании (15) в линейном приближении устойчивость роста к возмущениям определяется показателем Ляпунова развития неустойчивости в системе населения (рис. 21):
По этому критерию при > 0 движение до перехода неустойчиво и только после перехода развитие системы становится асимптотически устойчивым и впредь таким и остается. Более полное определение устойчивости потребует введения распределений для N и обращения к методам статистической физики при обобщении модели.