Правила против Законов

Дмитрий Плесецкий

Рис. 3.1. Построение кривой Коха.

Первый шаг построения начинается с равностороннего треугольника. Далее, разделив каждую сторону на три равных отрезка, помещаем на центральный отрезок равносторонний треугольник. Результатом первой итерации получается геометрическая фигура, известная как «Звезда Давида». Затем, продолжив то же для каждого из 12 равных отрезков и повторив вышеописанную операцию, получаем снежинку «Коха». И повторяем это снова и снова…

Рис. 3.2. Кривая Минковского.

Кривая Минковского также относится к классическим геометрическим фракталам, нигде не дифференцируема и не спрямляема, не имеет самопересечений (Рис. 3.2).

На

тот момент в математической науке сложилось общепринятое мнение, что существуют некие границы, которые не следуют пересекать. То есть сложились внутренние правила, подобно правилам, которые были установлены в философии для доказательств истинности суждений посредством законов аристотелевой логики. Но в отличие от философии, в математических науках все же существуют предикаты на доказательства, и чтобы отделить истину от лжи, следует предъявить весомые аргументы. Выстраиваемые ограничения объективно могут быть преодолены и преодолеваются, что выражается прогрессом в науке. Тем не менее следует отметить, что временные интервалы в тысячи лет выглядят весьма «странно медленно» с точки зрения эволюционного развития наук, в частности, математики в периоде от евклидовой геометрии до геометрии Лобачевского. Наиболее точно суть проблемы выразил Бенуа Мандельброт, сказав, что существование математических феноменов «бросает нам вызов и побуждает заняться подробным изучением тех из форм, которые Евклид отложил в сторону из-за их «бесформенности» – исследовать, так сказать, морфологию "аморфного". Математики же пренебрегли этим вызовом и предпочли бежать от природы путем изобретения всевозможных теорий, которые никак не объясняют того, что мы видим или ощущаем» [46, С. 2]. Направления поиска истины, которые указали человечеству философы-мудрецы Сократ и Платон, как при построении идеального государства в нашем микромире, так и при создании концепции создания существ, Бога, мироздания и его фрактальной природы в макромире Космоса. Эти мысли могли бы вдохновить на развитие наук, логики в правильном направлении, в частности, и для «геометров», и для философов, что подтверждает наш тезис о философии как мудрости или стратегическом мышлении совокупного человечества. Но топтаться на месте две тысячи лет «вдали» от природы и в упор не замечать её божественного самоподобия, как сказал Аристотель Эмпедоклу, «это уж слишком».

Давайте рассмотрим, наверное, самый известный фрактал основателя-отца фрактальной геометрии, выдающегося математика, профессора Ельского университета Бенуа Мандельброта под названием «множество Мандельброта». Доктор физики третьего Физического института в Гёттингене, профессор Манфред Шредер высоко отозвался о прорывных достижениях Мандельброта, сказав, что он «в одиночку спас наиболее хрупкие функции теории множеств и наиболее "пыльные" множества от почти полного забвения, поместив их в самый центр нашего повседневного опыта и представлений» [115].

Множество Мандельброта считается одним из самых сложных фракталов из когда-либо созданных. Оно воспроизводится на комплексной плоскости простым математическим процессом через итерацию zn+1 -> z?n + c, определяющей процедуру, в которой результат вычисления является входом для следующего вычисления. При значительном увеличении фрагментов множества Мандельброта, можно увидеть безграничность самоподобия и красоту формирования фрактала. Для понимания всеобъемлющей сложности фрактальной структуры и одновременно его фантастического великолепия рекомендуется посмотреть компьютерную анимацию на ютубе [108]. Для примера дадим общее описание трехмерной версии множества – 3D-фрактал «Оболочка Мандельброта 22 ».

22

Оболочка Мандельброта – трёхмерный фрактал, аналог множества Мандельброта, созданный Дэниелом Уайтом и Полом Ниландером с использованием гиперкомплексной алгебры, основанной на сферических координатах. Назван в честь создателя фрактальной геометрии Бенуа Мандельброта. (Оболочка Мандельброта. // wikipedia.org URL:.

«Формула для n-й степени трёхмерного гиперкомплексного числа 23 (x, y, z) следующая:

где

была использована итерация z -> z?+ c , где z и c – трёхмерные гиперкомплексные числа, на которых операция возведения в натуральную степень выполняется так, как это указано выше. Для n > 3 результатом является трёхмерный фрактал» [59].

Поразительно, что простая квадратичная функция комплексных чисел при множестве итераций создает невероятную сложность структуры и потрясающую красоту форм. Моделированием через трехмерные комплексные числа можно получить сложнейшую форму трехмерного фрактала «оболочка Мандельброта». Сочетание простоты алгоритмов и сложности самоподобия форм рождает целые миры удивительной красоты. В основании геометрического фрактала Мандельброта лежит простой алгоритм, бесконечно повторяющийся и создающий сложные самоподобные дочерние объекты, подчиненные степенным законам. Трудно не согласиться с Платоном о гениальности решения Создателя, где сочетание простоты и сложности структуры мироздания он заложил в основания развития всех живых существ, подобных ему, повторяющийся и создающий множество самоподобных Ему бесконечных структур.

Таким образом, создан метод описания сложных систем, включающий в себя качество (геометрия), количество элементов и систему организации (связей) сложных структур. Это дает возможность анализировать и совершенствовать сложные объекты, системы для решения проблем их устойчивого развития.

23

Гиперкомплексные числа – конечномерныеалгебры над полемвещественных чисел с единицей, то есть числа, над которыми заданы операции сложения и умножения (при этом существует нейтральный элемент по умножению), а также умножение на действительное число. Такие числа не обязательно коммутативные или ассоциативные (Гиперкомплексное число. // wikipedia.org URL:.

И наиболее вероятным событием во Вселенной в представлении Платона-Сократа являются простые идеи подобия с развитием, превращаясь в сложные мультифрактальные самоподобные мегаобъекты: галактики, черные дыры, квазары, звездные и планетарные системы. В Космосе и в природе наблюдается беспрецедентная динамика и масштабирование фрактальных структур с сохранением инвариантности подобия. Профессор Д. И. Иудин из Нижегородского государственного университета им. Н. И. Лобачевского считает, что существует два аспекта «масштабной инвариантности 24 дополняющих друг друга»:

24

Т. е. степень их неправильности и/или фрагментации неизменны во всех масштабах (Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. – М.: Институт компьютерных исследований, 2002).

1. Самоподобие многокомпонентных иерархических структур, требующих для реализации своего самоподобия «широкого диапазона пространственно-временных масштабов»;

2. Простая степенная функция, где всего лишь один показатель степени «характеризует сложную итерационную процедуру рождения и организации фрактальной структуры – восхождения от малого к большому, от простого к сложному» [34, С. 6].

У геометрических фракталов обобщенно можно выделить несколько основных свойств:

1. Дробность, «ломанность» линий (не дифференцируемость),

2. Фрактальная размерность – один из способов определения размерности множества в метрическом пространстве,

3. Самоподобие при масштабировании (масштабная инвариантность),

4. Сочетание простоты и сложности в одном объекте. Развитие простых алгоритмов через множественное повторение (итераций) к получению фрактальной структуры большой сложности. Вся структура развития фрактала подчинена степенным законам на всем протяжении от микроуровней до макроуровня.

Не думаю, что может возникнуть сложность при переходе от геометрических (алгебраических) фракталов к стохастическим фракталам и к их природным аналогам в будущем. Этот вопрос относится к развитию фрактальной геометрии как науки, способной в будущем раскрыть истину о математическом порядке (отнюдь не хаоса) окружающего нас мира природы и Космоса. Выявив законы образования фрактала, становится возможным изучать (описывать) целое по частям, определять динамику системы, осуществлять моделирование, близкое к реальности.

Но когда научный «технический оптимизм» обращает свои надежды на будущее, то снова на горизонте начинает маячить призрак времени, которого у человеческой цивилизации попросту нет из-за сложившегося в современном обществе очередного «Парадокса циклов Платона» [49, 50, 126]. В который раз убеждаешься, что процессы разделения философии на специализированные части присутствуют не только в философии, но также отражены и в науках, в её разделах. Складываются мнения консервативного большинства, мнения превращаются в негласные правила, вырастая в предикаты псевдо-истины как искусственных барьеров для первопроходцев, превращающих истину в догму, а законы – в правила, что неразумно и контрпродуктивно. Почему же так происходит? Чего же не хватает современным «геометрам» Аристотеля? Ответ на этот вопрос абсолютно точно дал Бенуа Мандельброт, сказав, что «…природа сыграла с математиками шутку. Возможно, математикам XIX века недоставало воображения – Природа же никогда таким недостатком не страдала» [46, С. 4]. Предположим, что воображение есть способ выражения неординарных мыслей. В данном представлении правомерно утверждение, что фрактальный подход создал целое направление в науке, и не просто направление, а прорыв в сторону понимания природных и социальных систем, создав уникальный инструмент постижения законов мироздания.

В первых двух главах мы пришли к заключению, что философия – это не наука, это совокупная мудрость общества. Разделение философии на части есть не что иное, как разделение мудрости – способности человека познавать природу вещей и сущностей. Что есть воображение? Это инструмент мышления, стратегическое зрение, способность в широком спектре видеть проблему целиком, заглянуть в истоки, в начала жизни. Воображение – это свойство разума человека и лежит в основе стратегического мышления, как его базовый инструмент. Следовательно, избавив философию от метафизики, исследователи перестали использовать воображение как неэмпирический инструмент познания и потеряли способность стратегически мыслить, переключив свой ум на решение тактических задач. Мандельброт, создав теорию фрактальных множеств, показал возможность выхода на стратегическое направление для развития наук, причем для всех наук, что стало редким примером разрыва рациональных шаблонов при решении сложных стратегических задач. Человечество находится во фрактальном мире, и знать качества и свойства фракталов – значит понимать структуру природных фракталов как первый шаг к пониманию абсолютных законов мироздания – ибо все имеет строгий фрактальный порядок. В этом смысле Мандельброт провозгласил истину, сказав, что «у геометрии природы фрактальное лицо» [46, С. 4].