Предчувствия и свершения. Книга 3. Единство
Шрифт:
При изучении движения Луны первая ступень — вычисление того, как она двигалась бы вокруг Земли без учета действия Солнца. Конечно, Солнце много больше чем Земля, но оно и много дальше от Луны, а закон тяготения гласит, что сила тяготения убывает при увеличении расстояния так, как растет квадрат расстояния. Поэтому в задаче о Луне влияние Солнца играет лишь роль возмущающего воздействия.
Со временем математики значительно усовершенствовали метод возмущения и теперь могут учитывать одно за другим возмущающее действие все более далеких планет или, изучая движение спутников Юпитера, учитывать не только их взаимодействие, но и влияние Солнца, Сатурна, а если требуется, то и влияние других планет.
Известно, что именно таким путем была
Мы остановились на этой истории для того, чтобы продемонстрировать мощь метода возмущения, ибо он сыграл важную роль в решении многих задач, не поддающихся точному решению, в частности задач, родственных задаче трех тел. Эти задачи принадлежат к классу нелинейных задач, для их изучения необходимо решать нелинейные дифференциальные уравнения. Название «нелинейные» связано с тем, что график изменения по крайней мере одной из величин, входивших в эти уравнения, изображается не прямой линией, а более сложной кривой.
Задачи такого типа в течение долгого времени возникали только в астрономии и в некоторых областях механики.
Все изменилось после изобретения радио А. С. Поповым, точнее — после того, как на смену искровым радиопередатчикам пришли дуговые, а затем ламповые.
Инженеры должны были научиться рассчитывать ламповые радиопередатчики. Они сразу обнаружили, что характеристики радиоламп, отображающие зависимость электрического тока, протекающего через лампу, от напряжения, приложенного к ее управляющему электроду, не могут быть изображены прямыми линиями, а имеют вид сложных кривых. Первым преодолел эту трудность и добился успеха Бальтазар ван дер Поль. Он применил метод возмущения.
Быстрое развитие радиотехники потребовало от физиков изучения множества проблем, возникавших перед радиоинженерами, нуждавшимися в надежных методах расчета все более сложных схем радиопередатчиков и радио приемников. По-прежнему камнем преткновения были характеристики радиоламп, даже отдаленно не похожие на прямую линию. Вариант метода возмущений, примененный ван дер Полем, позволял решать многие радиотехнические задачи. Однако он обладал одним недостатком, хорошо известным астрономам. Этот метод не давал уверенности в том, что полученное решение действительно является близким к точному решению реальной неупрощенной задачи.
В это время в Московском университете набирала силу школа физиков, созданная Л. И. Мандельштамом и Н. Д. Папалекси. В центре интересов этих ученых и их учеников находилась разработанная ими Общая теория колебаний. Главная мысль, положенная в основу этой теории, заключалась в слове «общая». Дело в том, что Мандельштам еще в молодости установил глубокое единство, общность колебательных процессов, реализующихся в самых различных явлениях, приборах и машинах. Независимо от конкретной природы колебательных процессов, не имеющих с первого взгляда ничего общего между собой, они обладают глубокой внутренней общностью. Она выражается ярче всего и яснее всего тем, что они могут быть описаны одними и теми же математическими уравнениями, подчиняются этим уравнениям и их решениям. В качестве примера можно указать на качающийся маятник, на мячик, подпрыгивающий над твердым полом, на магнитную стрелку, колеблющуюся вокруг направления север — юг, на детскую игрушку, состоящую из тяжелого шарика, подвешенного на резинке, на птицу, только что опустившуюся на ветку и качающуюся вместе с ней. Каждый может придумать другие примеры. Если рассматриваемые в них колебания не слишком велики, то они обладают общими свойствами: скорость колеблющегося тела достигает наибольшего значения, когда его отклонение от положения равновесия равно нулю. В этот момент возрастание скорости прекращается и начинается ее уменьшение. Скорость достигает нуля, когда отклонение от положения равновесия максимально, безразлично в какую сторону — вправо или влево, вверх или вниз, но максимально.
Мандельштам подчеркивал, что сила Общей теории колебаний основана на глубоком единстве сущности колебательных процессов, выражающейся в том, что все родственные колебательные процессы могут быть описаны одним и тем же уравнением. Поэтому, говорил он, достаточно изучить один из колебательных процессов, решить это уравнение всего один раз. Полученные решения могут быть затем в готовом виде применены ко всем остальным колебательным явлениям и процессам, подчиняющимся этому же уравнению.
Конечно, общность не есть всеобщность. Существует много различных классов колебательных процессов, которые невозможно охватить одним уравнением. Например, стоит привязать к шарику, подвешенному на резинке, вторую резинку, удерживающую второй шарик, и их совместные колебания будут существенно отличаться от того, как они колеблются по отдельности. Соответственно будет отличаться и уравнение, описывающее колебания двух шариков, связанных между собой. Но и это новое уравнение применимо не только к описанию поведения сдвоенных шариков, но и к изучению многих аналогичных колебательных систем.
Подобных различных классов колебательных систем много. Но каждому из них принадлежит свое большое семейство процессов, обладающих между собой глубокой внутренней общностью. Конечно, каждый класс надо изучать отдельно, заново решая уравнение, описывают этот класс. Однако и при этом экономится много сил, времени и средств.
Главное преимущество состоит в том, что человек, овладевший Общей теорией колебаний, приобретает то, что Мандельштам называл колебательной интуицией, позволяющей судить о новом явлении на основании опыта, полученного при изучении многих других явлений.
Теперь нужно возвратиться к оговорке, сделанной в начале одного из предыдущих абзацев. Перечислив примеры родственных колебательных систем, мы начали следующий абзац фразой, содержащей условие: «…если рассматриваемые в них колебания не слишком велики, обладают общими свойствами».
Весьма неопределенное утверждение! Что значит «не слишком велики»? По сравнению с чем? Как определить «слишком» или «не слишком»?
Может быть, читатель уже сам задумался над тем, почему и зачем написана эта фраза. Ведь все содержание последующих фраз в этом абзаце не зависит от того, «слишком» или «не слишком».
Верно, читатель. Свойства, перечисленные в том абзаце, неизменны. Теперь пора поговорить о свойствах колебательных систем, сохраняющих общность, если их колебания не слишком велики, и теряющих эту общность при интенсивных колебаниях.
Прежде всего нужно условиться, чем различаются «слишком» и «не слишком».
Колебания можно считать «не слишком» интенсивными, если графики, изображающие любую характеристику этих колебаний, можно изобразить одной прямой линией. Например, зависимость отклонения положения маятника от величины внешней силы или зависимость силы тока приложенного напряжения. «Слишком» — если графики этих зависимостей сильно отличаются от прямой линии.