Предчувствия и свершения. Книга 3. Единство
Шрифт:
Это определение тоже не является точным или строим, но теперь ясно, что имеется в виду. Чем сильнее график отличается от прямой линии, тем менее общими оказываются свойства колебательных систем. Конечно, некоторая общность сохраняется, но различия увеличиваются. Ведь не отличаться от прямой линии можно только одним способом — отличаться так мало, что различие оказывается не существенным. Но отличаться можно на бесчисленное количество ладов. Кривая может пересекать прямую один раз, или несколько раз, или множество раз, пересекать круто или полого, и т. д. и т. п. (ведь нужно где-нибудь остановиться). И каждый раз свойства колебательной системы оказываются различными.
Так на основе линейной теории колебаний возникает нелинейная теория колебаний. Этим названием физики привыкли
Ламповый генератор, изученный ван дер Полем, обладал непрямой характеристикой. Поэтому его нельзя было изучить при помощи хорошо разработанных методов линейной теории колебаний. Отличия характеристики от прямой линии были существенными, именно эти отличия определяли замечательные особенности лампового генератора. Но характеристики были не настолько непрямы, чтобы воспрепятствовать применению метода возмущений. Это позволило ван дер Полю добиться успеха.
Зная о недостатке варианта метода возмущений, примененного ван дер Полем (этот недостаток не был профессиональной тайной астрономов или математиков), Мандельштам поручил своему аспиранту А. А. Андронову хорошо владевшему математикой, поискать в трудах математиков, занимавшихся проблемами астрономии, более подходящие варианты метода возмущений.
И Андронов нашел.
Новое притяжение, или Системы с короткой памятью
Собственно говоря, он нашел два метода, взаимно дополнявшие друг друга. Один из них был разработан французским математиком А. Пуанкаре, а второй казанским математиком А. М. Ляпуновым.
Пуанкаре разработал для решения задач астрономии вариант метода возмущений, позволяющий в ходе вычислений проверять, действительно ли получаемое приближенное решение правильно отображает особенности исследуемого процесса.
Ляпунов интересовался не менее важным вопросом: когда исследуемое явление может существовать длительное время? То есть является ли оно устойчивым или при определенных условиях теряет устойчивость и возникают процессы, приводящие к его разрушению. Ляпунов нашел способ решать задачу об устойчивости без каких-либо специальных опытов. Для астрономов это очень важное обстоятельство — ведь в астрономии активные опыты, опыты с воздействием на изучаемый объект, совершенно невозможны. Он показал, как ответить на вопрос об устойчивости вычислительным путем — изучая свойства уравнений, описывающих исследуемое явление. Метод Ляпунова применим к любому решению задачи о периодических движениях, независимо от того, каким путем получено решение.
Андронов не только нашел и изучил соответствующие работы Пуанкаре и Ляпунова, но показал, как следует применять их методы для решения задач нелинейной теории колебаний. Этим Андронов помог широкому развитию нелинейной теории колебаний и ее практическому применению к задачам радиотехники, а позднее и в области систем автоматического регулирования и управления различными процессами и устройствами.
Андронов заметил, что способность нелинейных колебательных систем в течение длительного времени пребывать в состоянии периодических колебаний зависит от ряда условий, общих всем системам такого рода. Прежде всего система должна получать энергию извне. Если приток энергии прекращается, то амплитуда колебаний немедленно начинает уменьшаться и будет уменьшаться до тех пор, пока колебания не затухнут полностью. Это значит, что в такой колебательной системе всегда имеются внутренние «источники потерь», точнее, механизмы, превращающие энергию колебаний в тепло.
При таком подходе генератор следует считать открытой системой: в него втекает энергия от источника энергии (например, батареи) и из него можно извлекать энергию порождаемых в нем колебаний. Одновременно из него неизбежно вытекает поток тепловой энергии.
Можно говорить о совокупности генератора колебаний и источника энергии как о единой системе — замкнутой системе. Она может работать независимо от внешнего мира, если она полностью изолирована от него. Но это неравновесная система. Она не находится в состоянии внутреннего равновесия. Первоначально весь запас энергии сосредоточен в источнике. Такое состояние неустойчиво. Второе начало термодинамики указывает на то, что путь развития неравновесной системы предопределен. В ней должен происходить процесс перехода к равновесию. Перехода энергии, запасенной в любой форме, в тепловую энергию с последующим выравниванием температуры во всей системе и с прекращением ее работы.
Андронов отметил, что в нелинейной колебательной системе всегда существует механизм, управляющий расходом энергии источника, и назвал его механизмом обрат ной связи. Механизм отбирает от источника часть энергии для того, чтобы поддержать свою работу.
Колебательные системы, способные самостоятельно управлять протекающими в них процессами, Андронов назвал автоколебательными (самоколеблющимися) системами, а процесс самоподдерживающихся колебаний он назвал автоколебаниями. Дело, конечно, не в названии, а в сути, и в этой сути нам надо разобраться.
Одним из важнейших выводов нелинейной теории колебаний явился вывод о том, что процессы, описываемые нелинейными дифференциальными уравнениями, являются полностью упорядоченными до тех пор, пока они развиваются только под действием внутренних сил или если силы, действующие на них извне, полностью известны. Любое отклонение от порядка, от точной связи между причинами и следствиями, возможно только в том случае, если в игру вступают случайные силы, случайные воздействия. Воздействия, для описания которых необходимо применять методы статистики. Такие воздействия могут возникать и внутри самих изучаемых систем, например, в результате хаотических тепловых движений их частей. Ученые называют такие хаотические движения флуктуационными движениями или, короче, флуктуациями.
Таким образом Общая теория колебаний показала, что линейные и нелинейные колебательные процессы и системы, участвующие в колебательных процессах, полностью соответствуют понятиям классической физики о связи причин и следствий.
Хаотическое движение в таких колебательных системах возникает только в результате действия флуктуации.
Но некоторые нелинейные колебательные системы удивительным образом способны противодействовать стабилизирующему влиянию флуктуации. Линейные колебательные системы не обладают такой способностью. Например стрелка чувствительного измерительного прибора, в частности стрелка чувствительного вольтметра или амперметра, никогда не может стоять неподвижно, даже ели прибор никуда не включен. При этом стрелка под влиянием хаотических ударов молекул воздуха непрерывно совершает небольшие колебания вокруг нулевой отметки. Размахи этих хаотических колебаний увеличиваются по мере увеличения температуры воздуха, потому что при этом возрастают хаотические тепловые движения молекул воздуха, увеличивается сила их ударов о стрелку. Такие же хаотические блуждания можно увидеть, наблюдая при помощи микроскопа положение маятника, огражденного от любых воздействий, за исключением ударов молекул воздуха.
Хаотические движения линейных колебательных систем, свободных от каких-либо регулярных внешних воздействий, являются всеобщим правилом, а не исключением. Это относится не только к их положениям равновесия. Но блуждания около положения равновесия можно заметить легче и проще, чем, например, отклонения от регулярного колебательного движения.
Иначе ведут себя нелинейные колебательные системы, например ламповые генераторы электрических колебаний, в том числе радиопередатчики, или обыкновенные часы. Большинство часов, снабженных маятником или балансиром — колесиком с пружинкой, — применяемым в наручных и карманных часах, не начинают идти даже тогда, когда пружина заведена или гиря поднята. Для того чтобы заставить часы идти, нужно заставить маятник совершать колебания, нужно его толкнуть. Если толчок слаб, маятник быстро остановится, быстрее, чем если бы он не входил в состав механизма часов. Но если толчок превзошел определенный предел (физики и часовщики говорят — превзошел порог),